判別式の符号が解の個数を決める

この証明のすべての手順は、前の定理で確立した恒等式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ を再利用する。これは $\Delta$ の符号に関係なく $a\neq0$ を満たす任意の実数 $a,b,c$ に対して成り立つ——$\Delta\ge0$ に依存するのは最後の平方根の手順だけである。

**$\Delta>0$ の場合。** 右辺 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ は正の数(正の分子を正の分母 $4a^2$ で割ったもの)なので、2つの異なる平方根 $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ と $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ を持ち、$\sqrt{\Delta}\neq0$ なのでこれらは異なる。それぞれが $x+\dfrac{b}{2a}$ の異なる値を与え、したがって $x$ の異なる値を与える:ちょうど2つの異なる実数解。

**$\Delta=0$ の場合。** 右辺は $0$ になり、平方が $0$ になる唯一の実数は $0$ 自身である——もはや「$\pm$」のあいまいさは残らない。よって $x+\dfrac{b}{2a}=0$ となり、唯一の解 $x=-\dfrac{b}{2a}$ が得られる。これは左辺を直接 $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ と因数分解すること、すなわちちょうど1回だけ0に触れる完全平方と一致する。

**$\Delta<0$ の場合。** 右辺 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ は今度は負である。しかし左辺 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ は実数の平方であり、実数の平方は常に $\ge0$ である——負の数に等しくなることは決してない。したがってこの場合、$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ を満たす実数 $x$ は存在せず、元の方程式は実数解を全く持たない。