2曲線間の面積としての定積分

$[a,b]$ を幅 $\Delta x=(b-a)/n$ の $n$ 個の小区間 $[x_{i-1},x_i]$ に分割し、各区間で標本点 $x_i^*$ を選ぶ。$[x_{i-1},x_i]$ 上の領域の帯は、高さがおよそ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$ であり、その面積はおよそ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$ である。

すべての $n$ 個の帯について足し合わせると、リーマン和 $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$ が得られ、これは構成上 $R$ の真の面積を近似する。

$n\to\infty$ のとき、各帯の近似の誤差はコンパクト区間 $[a,b]$ 上の $f-g$ の一様連続性により $0$ に近づく。$|f-g|$ は連続なので、リーマン和はリーマン積分の定義により $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ に収束する。よって $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ である。

$[a,b]$ 全体で $f(x)\ge g(x)$ のとき、これは絶対値なしで $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ に簡略化される。$(a,b)$ 内の点で $f-g$ の符号が変わるときは、その点で積分を分割し、各部分で正しい引き算の順序を選ぶことが実際の計算方法となる。