積分の応用

領域を幅 $\Delta x$ の薄い縦の帯で近似する。各帯は高さ $|f(x)-g(x)|$ の長方形にほぼ等しく、これらの長方形の面積の和はまさにリーマン和であり、帯が縮むにつれて定積分に収束する。

$[a,b]$ を幅 $\Delta x=(b-a)/n$ の $n$ 個の小区間 $[x_{i-1},x_i]$ に分割し、各区間で標本点 $x_i^*$ を選ぶ。$[x_{i-1},x_i]$ 上の領域の帯は、高さがおよそ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$ であり、その面積はおよそ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$ である。

すべての $n$ 個の帯について足し合わせると、リーマン和 $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$ が得られ、これは構成上 $R$ の真の面積を近似する。

$n\to\infty$ のとき、各帯の近似の誤差はコンパクト区間 $[a,b]$ 上の $f-g$ の一様連続性により $0$ に近づく。$|f-g|$ は連続なので、リーマン和はリーマン積分の定義により $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ に収束する。よって $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ である。

$[a,b]$ 全体で $f(x)\ge g(x)$ のとき、これは絶対値なしで $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ に簡略化される。$(a,b)$ 内の点で $f-g$ の符号が変わるときは、その点で積分を分割し、各部分で正しい引き算の順序を選ぶことが実際の計算方法となる。

位置 $x$ で $x$ 軸に垂直に立体を切ると、半径 $f(x)$、面積 $\pi[f(x)]^2$ の円板が得られる。これらの円板を積み重ね、断面積を $[a,b]$ 上で積分すると総体積が得られる。これは面積のときと全く同じスライスの議論だが、帯の高さの代わりに円板の面積を使う。

$[a,b]$ を幅 $\Delta x=(b-a)/n$ の $n$ 個の小区間に分割し、標本点 $x_i^*$ を取る。$[x_{i-1},x_i]$ に制限された立体は、半径 $f(x_i^*)$、厚さ $\Delta x$ の円柱状の円板にほぼ等しいので、その体積はおよそ $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$ である。

これらの円板の体積をすべての $n$ 個の小区間について足し合わせると、リーマン和 $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$ が得られ、これは真の体積 $V$ を近似する。

$n\to\infty$ のとき、$f$ が $[a,b]$ 上で連続であることから近似の誤差は消え、$x\mapsto \pi[f(x)]^2$ 自体も連続なので、リーマン和は定義により $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$ に収束する。よって $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$ である。

整合性の確認として、$[0,h]$ 上で $f(x)=\dfrac{r}{h}x$ を取ると、これを $x$ 軸のまわりに回転させたものはちょうど底面半径 $r$、高さ $h$ の円錐になる:$V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ となり、まさに古典的な円錐の体積公式と一致する。