分数はいつ有限小数になるか

（$\Leftarrow$）$b=2^m5^n$ と仮定する。$k=\max(m,n)$ とおく。分子と分母に $2^{k-n}5^{k-m}$（$k$ が最大値なので両方の指数は $\ge0$）を掛けると:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^m5^n\cdot2^{k-n}5^{k-m}}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^k5^k}=\dfrac{N}{10^k}$（$N=a\cdot2^{k-n}5^{k-m}$ は整数）。$N$ を通常の数字で書き、右から $k$ 桁の位置に小数点を置く（$N$ の桁数が $k$ より少なければ先頭にゼロを補う）と、これがまさに $\frac{a}{b}$ の小数展開であり、高々 $k$ 桁で終わる:有限小数である。

（$\Rightarrow$）$\frac{a}{b}$ が $k$ 桁の小数で終わる、すなわちある整数 $N$ に対し $\dfrac{a}{b}=\dfrac{N}{10^k}$ であるとする。クロス乗算（上の定理1）により:$a\cdot10^k = b\cdot N$、よって $b$ は $a\cdot10^k$ を割り切る。$\frac{a}{b}$ は既約なので $\gcd(a,b)=1$ であり、$b$ は $a$ と共通の素因数を持たない;したがって $b$ のどの素因数 $p$ も $a$ を割り切れず、$p$ は $a\cdot10^k$ を割り切るので代わりに $10^k$ を割り切らねばならない。しかし $10^k=2^k5^k$ であり、その素因数は $2$ と $5$ だけである。ゆえに $b$ のすべての素因数は $2$ か $5$ であり、ある $m,n\ge0$ に対し $b=2^m5^n$ となる。