分数と小数

二つの分数を直接比べるのは、分母が異なる場合があり扱いにくい。両方の分母を掛けることで分数を消去し、比較を通常の整数の等式に変えることができる。

方向1（$\Rightarrow$）。$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ と仮定する。$b,d\neq0$ なので、両辺に ゼロでない数 $bd$ を掛けられる:$\frac{a}{b}\cdot bd = \frac{c}{d}\cdot bd$。左辺は因数 $b$ が消えて $\frac{a}{b}\cdot bd = a\cdot d$、右辺は因数 $d$ が消えて $\frac{c}{d}\cdot bd = c\cdot b$ となる。よって $ad=bc$。

方向2（$\Leftarrow$）。$ad=bc$ と仮定する。両辺を ゼロでない数 $bd$ で割る:$\dfrac{ad}{bd}=\dfrac{bc}{bd}$。左の分数の共通因数 $d$ と右の分数の共通因数 $b$ を約分すると:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$。

両方向が成り立つので、二つの命題は同値である:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ であることと $ad=bc$ であることは一致する。

小数の位取りは $10=2\times5$ のべき乗から成り立っている。分数の分母を $10$ のべき乗に書き換えられるのは、分母の素因数がちょうど $2$ と $5$ だけのときに限られる——それ以外の素因数は決して $10$ のべき乗に「吸収」されない。

（$\Leftarrow$）$b=2^m5^n$ と仮定する。$k=\max(m,n)$ とおく。分子と分母に $2^{k-n}5^{k-m}$（$k$ が最大値なので両方の指数は $\ge0$）を掛けると:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^m5^n\cdot2^{k-n}5^{k-m}}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^k5^k}=\dfrac{N}{10^k}$（$N=a\cdot2^{k-n}5^{k-m}$ は整数）。$N$ を通常の数字で書き、右から $k$ 桁の位置に小数点を置く（$N$ の桁数が $k$ より少なければ先頭にゼロを補う）と、これがまさに $\frac{a}{b}$ の小数展開であり、高々 $k$ 桁で終わる:有限小数である。

（$\Rightarrow$）$\frac{a}{b}$ が $k$ 桁の小数で終わる、すなわちある整数 $N$ に対し $\dfrac{a}{b}=\dfrac{N}{10^k}$ であるとする。クロス乗算（上の定理1）により:$a\cdot10^k = b\cdot N$、よって $b$ は $a\cdot10^k$ を割り切る。$\frac{a}{b}$ は既約なので $\gcd(a,b)=1$ であり、$b$ は $a$ と共通の素因数を持たない;したがって $b$ のどの素因数 $p$ も $a$ を割り切れず、$p$ は $a\cdot10^k$ を割り切るので代わりに $10^k$ を割り切らねばならない。しかし $10^k=2^k5^k$ であり、その素因数は $2$ と $5$ だけである。ゆえに $b$ のすべての素因数は $2$ か $5$ であり、ある $m,n\ge0$ に対し $b=2^m5^n$ となる。