三垂線の定理

$(\alpha)$ の外にある $d$ 上の点 $A$ を一つ固定し、$A$ から $(\alpha)$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると $AH \perp (\alpha)$ である。正射影の定義により $H$ は $d_1$ 上にある。$AH$ は平面 $(\alpha)$ 全体に垂直なので、その平面内にある直線 $a$ にも垂直である:$AH \perp a$。一方、$d$、$d_1$、$AH$ はすべて同一の鉛直平面内にある。

($\Rightarrow$) $a \perp d$ と仮定する。このとき $a$ はその鉛直平面内で交わる二直線 $d$ と $AH$ の両方に垂直である。直線と平面の垂直判定法により $a$ はその鉛直平面全体に垂直となり、したがってその中にある $d_1$ にも垂直である。ゆえに $a \perp d_1$ を得る。

($\Leftarrow$) 逆に $a \perp d_1$ と仮定する。このとき $a$ は同じ鉛直平面内で交わる二直線 $d_1$ と $AH$ の両方に垂直である。同じ判定法により $a$ はその鉛直平面に垂直となり、したがって $d$ にも垂直である。ゆえに $a \perp d$ を得る。