空間における平行と垂直の関係

平面内の無限に多くの直線をすべて確認する必要はない。同じ点から異なる二方向に床に対して垂直に打ち込んだ二本の釘が、支柱を正確に垂直に保つのに十分であるのと同じように、独立な二回の垂直確認だけで平面全体に対する垂直性が決まる。

交点 $O$ を原点とし、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の方向ベクトルとする。$a$ と $b$ は交わる相異なる直線なので $\vec{u}$ と $\vec{v}$ は線形独立であり、両者は平面 $(\alpha)$ 内のあらゆる方向を張る。すなわち任意の直線 $c \subset (\alpha)$ の方向ベクトルは、ある実数 $\lambda, \mu$ を用いて $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ と書ける。

$d$ の方向ベクトルを $\vec{n}$ とする。仮定 $d \perp a$ と $d \perp b$ は内積の等式 $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ と $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ に対応する。平面 $(\alpha)$ 内の方向 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ を持つ直線 $c$ について、内積の線形性より $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$ を得る。

任意の直線 $c \subset (\alpha)$ の方向と $\vec{n}$ の内積が 0 になるので、$d$ は $(\alpha)$ 内のすべての直線に垂直であり、これはまさに $d \perp (\alpha)$ の定義そのものである。

傾いた(斜めの)直線に対して直接垂直性を確認するのは扱いにくいが、その影である $d_1$ は平面内に平らに横たわっており、そこでは垂直性を見て測るのがずっと容易である。この定理は二つの判定が常に一致することを保証しており、難しい3次元での判定を常に易しい2次元での判定に置き換えてよいことを意味する。

$(\alpha)$ の外にある $d$ 上の点 $A$ を一つ固定し、$A$ から $(\alpha)$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると $AH \perp (\alpha)$ である。正射影の定義により $H$ は $d_1$ 上にある。$AH$ は平面 $(\alpha)$ 全体に垂直なので、その平面内にある直線 $a$ にも垂直である:$AH \perp a$。一方、$d$、$d_1$、$AH$ はすべて同一の鉛直平面内にある。

($\Rightarrow$) $a \perp d$ と仮定する。このとき $a$ はその鉛直平面内で交わる二直線 $d$ と $AH$ の両方に垂直である。直線と平面の垂直判定法により $a$ はその鉛直平面全体に垂直となり、したがってその中にある $d_1$ にも垂直である。ゆえに $a \perp d_1$ を得る。

($\Leftarrow$) 逆に $a \perp d_1$ と仮定する。このとき $a$ は同じ鉛直平面内で交わる二直線 $d_1$ と $AH$ の両方に垂直である。同じ判定法により $a$ はその鉛直平面に垂直となり、したがって $d$ にも垂直である。ゆえに $a \perp d$ を得る。