ガロア理論の基本定理

ステップ1(アルティンの補題より $L^{\mathrm{Gal}(L/F)}=F$)。$F$ を中間体、$H=\mathrm{Gal}(L/F)$ とする。各 $\sigma\in H$ は定義より $F$ を固定するので $F\subseteq L^H$ は明らか。逆の包含にはアルティンの定理を使う:$H$ が $L$ の有限自己同型群なら $[L:L^H]=|H|$。これは、相異なる体自己同型が関数 $L\to L$ として線形独立であるというデデキントの補題から従い、$[L:L^H]\ge|H|$ を強制する。$L/F$ はガロア拡大なので $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$ であり、$F\subseteq L^H$、$[L:L^H]=|H|=[L:F]$ と合わせて $F=L^H$ を得る。

ステップ2(二つの写像は互いに逆写像)。任意の部分群 $H\le G$ に対し $F=L^H$ とおく。$\mathrm{Gal}(L/F)=H$ を示す。定義より $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$($H$ の各元は $L^H=F$ を固定する)。$H$ にアルティンの定理を適用すると $[L:F]=[L:L^H]=|H|$。$\mathrm{Gal}(L/F)$ に再度適用すると($L/F$ は自動的にガロアなので常に有効)$|\mathrm{Gal}(L/F)|=[L:F]=|H|$。$H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ かつ両者の有限位数が等しく $|H|$ なので $H=\mathrm{Gal}(L/F)$。

ステップ3(包含関係の逆転)。固定体の定義から直接 $H_1\subseteq H_2\Rightarrow L^{H_1}\supseteq L^{H_2}$ が従い、全単射は両方向で包含を逆転する。

ステップ4(次数公式)。すでに $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$ を得た。塔の公式 $[L:K]=[L:F][F:K]$ と $[L:K]=|G|$ から $[F:K]=|G|/|H|=[G:H]$。

ステップ5(正規部分群とガロア部分拡大の対応)。$\sigma\in G$ に対し、直接計算で $\sigma(L^H)=L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ を確認できる:実際 $x\in L^H\iff\forall h\in H,\ hx=x\iff\forall h\in H,\ (\sigma h\sigma^{-1})(\sigma x)=\sigma x\iff \sigma x\in L^{\sigma H\sigma^{-1}}$。よって $F=L^H$ がすべての $\sigma\in G$ の下で安定である($F$ が $G$ が推移的に作用する $K$ 上の多項式の根で生成されるため、これが $F/K$ をガロアにする正規性条件そのものである)ことと、すべての $\sigma$ について $\sigma H\sigma^{-1}=H$、すなわち $H\trianglelefteq G$ であることは同値。このとき制限写像 $\sigma\mapsto\sigma|_F$ は核がちょうど $H$ である全射準同型 $G\to\mathrm{Gal}(F/K)$ を与え、第一同型定理より $\mathrm{Gal}(F/K)\cong G/H$。