ハーディ–リトルウッド極大定理

ステップ1(良い球による被覆)。$\lambda>0$ を固定する。$Mf(x)>\lambda$ を満たす各 $x$ に対し、上限の定義より $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$ を満たす $x$ を中心とする区間 $B_x$ が存在する。これらの球 $\{B_x\}$ は集合 $\{Mf>\lambda\}$ を被覆する。

ステップ2(ヴィタリの $5r$ 被覆補題)。半径が有界な球の任意の族から、可算な互いに素な部分族 $\{B_i\}$ を常に取り出すことができ、$5$ 倍に拡大した球 $\{5B_i\}$ が元の族全体の和集合を依然として被覆するようにできる。これを $\{B_x\}$ に適用して、$\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$ を満たす互いに素な部分族 $\{B_i\}$ を得る。

ステップ3(互いに素な部分を足し合わせる)。各 $B_i$ は構成により $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$ を満たす。$B_i$ は互いに素であるから、$i$ について足し合わせると $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$ となり、$\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$ が得られる。最後に $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$ となり、これはまさに $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$ である。