調和解析学

部分和を平均することで、まさに $S_N f$ を暴れさせている振動が打ち消される:$D_N$ には激しい負の部分があるのに対し、その移動平均 $F_N$ は滑らかで非負の山であり、常に $f$ の各部分を正の重みで足し合わせるだけである。そのため $S_N f$ 自体は収束しないことがあっても、その移動平均は必ず落ち着く——これは微積分において振動する部分和の列をチェザロ平均によって手なずけるのと同じ技である。

ステップ1(フェイエール核は正の近似単位元である)。$D_0,\ldots,D_N$ を平均し、望遠鏡型の三角関数恒等式を用いると、閉じた形 $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$ が得られる。$F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ かつ任意の $k$ について $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$ なので、$\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$ でもある。非負であることから $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ でもあり、したがって $L^1$ ノルムは決して爆発しない。

ステップ2(質量が $0$ に集中する)。任意に固定した $\delta>0$ に対し、$\delta \le |x| \le \pi$ では分母 $\sin(x/2)^2$ が正の定数で下から評価できるので、その範囲で一様に $F_N(x) = O(1/N)$ となる。$[-\delta,\delta]$ の外側の質量は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。

ステップ3(近似単位元の評価)。$\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$ を用いて $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$ と書く。積分を $|y|<\delta$ と $\delta\le|y|\le\pi$ に分ける。前半では、$f$ の一様連続性により $\delta$ を小さくとれば $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$ となり、$F_N\ge0$ かつ全質量 $1$ よりその部分は $\varepsilon$ で抑えられる。後半では $F_N=O(1/N)$ かつ $f$ が有界なので、その部分は $N\to\infty$ のとき $\to 0$ となる。両方の評価は $x$ について一様なので、$\sigma_N f\to f$ が一様に成り立つ。

コルモゴロフによる、至る所発散する1926年の $L^1$ 関数の例を踏まえると、$L^2$——わずかに強い条件にすぎない——も同じように、あるいは少なくともほとんど至る所で失敗するだろうと考えるのはごく自然に思えた。カールソンの定理はまさに驚きである:二乗可積分というわずかな追加の仮定が、測度ゼロの集合を除いて発散を完全に排除するのである。これは1913年にルジンが予想して以来未解決だった問題に決着をつけ、20世紀解析学のもっとも深い定理の一つとみなされている。

完全な証明は20世紀解析学における最も難しい論証の一つである。フェファーマンは1973年に有名な簡略化を与えており、その戦略は三つの手順で概説できる。

ステップ1(極大作用素による制御)。カールソン極大作用素 $S^*f(x) = \sup_N |S_N f(x)|$ を $L^2$ 上で評価すれば十分である。なぜなら $S^*$ に対する弱形の評価と、(収束が容易な)良い関数の稠密性を組み合わせれば、完全な概収束の主張が従うからである。

ステップ2(時間–周波数平面のタイルへの分解)。時間–周波数平面上の二進タイル——面積 $\sim 1$ の長方形であり、以下の『時間と周波数』の節で論じる原子そのもの——に適応した波束を用いて $f$ を分解する。各タイルは、時間区間と周波数帯域の両方に局在した $f$ の一部分を担う。

ステップ3(タイルを木にまとめて足し上げる)。カットオフ周波数 $N$ は $x$ によって変わりうるため、$S^*f(x)$ に関係するタイルは時間–周波数の包含関係で順序づけられた『木』を成す。フェファーマンの鍵となる組合せ論的評価は、すべての木が運ぶ総エネルギーを抑え、$L^2$ における $S^*f$ を制御して証明を完成させる。

物理的には、 $\int |f|^2$ は信号のエネルギー(電圧波形が消費する電力だと考えればよい)である。プランシュレルの定理は、そのエネルギーを時間軸で信号を走査して計算しても、周波数軸でそのスペクトルを走査して計算しても同じであることを述べる——スペクトラムアナライザとオシロスコープは全電力について一致しなければならない。

ステップ1(特別な場合)。まずガウス関数 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ についてこの等式を確認する。指数部の平方完成による直接計算から $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$ が得られ、 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ の両辺は同じガウス積分 $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$ に等しくなる。

ステップ2(線形性と畳み込み定理による拡張)。良い性質を持つ(シュワルツ)関数 $f$ に対して、 $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ として $g = f * \tilde f$ と置く。すると $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$ であり、畳み込み定理 $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ とフーリエ反転公式により $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ となる。これによりガウス関数を含むすべての滑らかで急減少なシュワルツ関数について等式が証明される。

ステップ3(稠密性の議論)。シュワルツ関数は $L^2(\mathbb{R})$ の中で稠密である: 任意の $f \in L^2$ は $L^2$ ノルムに関してシュワルツ関数の列 $f_n \to f$ の極限として得られる。ステップ2によりフーリエ変換はこの稠密な部分空間上で等長写像であるから、それは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ を満たしたまま $L^2(\mathbb{R})$ 全体への有界作用素として一意に拡張される——この拡張こそが、定義積分 $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ が絶対収束しないことがある $L^2$ 関数の『フーリエ変換』の意味である。

これは信号を整数点で標本化することと、そのスペクトルを周期化することとの間の橋渡しである:左辺は標本 $f(n)$ を足し合わせた結果であり、右辺はスペクトルから得られる結果である。この一つの等式が標本化定理、結晶学における格子和、そしてテータ関数やリーマンゼータ関数の関数等式の基礎となっている。

ステップ1(周期化)。シュワルツ関数 $f$ に対して $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$ と定める。 $f$ の急減少性によりこの和は絶対かつ一様に収束し、 $F$ は周期1の滑らかな関数となるので、円周上で独自のフーリエ級数を持つ。

ステップ2(周期化されたもののフーリエ係数を計算する)。 $F$ の第 $k$ フーリエ係数は $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$ である。各項で $y = x+n$ と置換し、 $e^{-2\pi i k x}$ の $n$ に関する周期性を使うと、断片は $\mathbb{R}$ 全体にわたる一つの積分にまとまる: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$。

ステップ3( x=0 で評価する)。 $F$ は滑らかなので、そのフーリエ級数は各点でそれ自身に収束し、特に $x=0$ では $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$、すなわち $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$ が成り立つ。左辺は定義よりまさに $F(0) = \sum_n f(n)$ であり、これで証明が完了する。

$L^2$ の場合は実質ただで得られる:乗数 $-i\,\mathrm{sgn}(\xi)$ はほとんどいたるところで絶対値がちょうど $1$ であるため、プランシュレルの定理により $H$ は文字通り $L^2$ 上の等長写像である——あらゆる周波数の $90^\circ$ 位相回転は全エネルギーを何も変えない。しかし有界性を他の $p$ に拡張することは本質的に別の、はるかに難しい問題である:$L^2$ の外にはパーセバルの等式の類似物が存在しないため、代数的な近道は使えず、証明は $Hf$ が大きくなる集合の大きさと幾何に関する実変数的な評価に頼らざるを得ない。

ステップ1($L^2$、直接)。プランシュレルの定理と乗数の公式により、$\xi\ne0$ で $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$ であることを用いて $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$ が成り立つ(一点は積分に影響しない)。したがって $H$ は $L^2(\mathbb{R})$ 上の等長写像であり、特に $C_2=1$ で有界である。

ステップ2(一般の $1<p<\infty$、後方参照)。指数の全範囲は、ステップ1からいかなる易しい議論によっても従わない。これは実変数コルデロン–ジグムント理論の正真正銘の定理である:ヒルベルト変換の核 $1/(\pi x)$ は、コルデロン–ジグムント核の滑らかさと打ち消し条件をまさに満たしており、そのため次節で展開される一般的な特異積分の機構がそのまま適用できる。その機構は、ステップ1で証明した $L^2$ の評価から弱形 $(1,1)$ の評価を生み出し、弱-$(1,1)$ 評価と $L^2$ 評価の間のマルツィンキェヴィッチ補間(そして $p>2$ に対する双対性の議論)によって、すべての $1<p<\infty$ について証明が完成する——この議論の後半部分は、ここで繰り返す代わりに、すぐ下のコルデロン–ジグムントの節で完全に実行される。

$Mf(x)$ は、$x$ の周りの区間上でとりうるあらゆる $f$ の平均——あらゆる尺度での移動平均——を一挙に制御する。この一つの量を制御することが、まさにルベーグ微分定理(縮小していく $x$ の周りの区間にわたる $f$ の平均が、ほとんどすべての $x$ で $f(x)$ に収束する)を証明するために必要なことであることが判明する:$Mf$ がほとんどいたるところ有限であるとわかれば、短くて易しい議論によって完全な微分の主張へと格上げできる。これは、易しい $L^2$ 評価に対してプランシュレルの等式が果たした役割を、以下のコルデロン–ジグムント理論に対して果たす、実変数的な原動力である。

ステップ1(良い球による被覆)。$\lambda>0$ を固定する。$Mf(x)>\lambda$ を満たす各 $x$ に対し、上限の定義より $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$ を満たす $x$ を中心とする区間 $B_x$ が存在する。これらの球 $\{B_x\}$ は集合 $\{Mf>\lambda\}$ を被覆する。

ステップ2(ヴィタリの $5r$ 被覆補題)。半径が有界な球の任意の族から、可算な互いに素な部分族 $\{B_i\}$ を常に取り出すことができ、$5$ 倍に拡大した球 $\{5B_i\}$ が元の族全体の和集合を依然として被覆するようにできる。これを $\{B_x\}$ に適用して、$\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$ を満たす互いに素な部分族 $\{B_i\}$ を得る。

ステップ3(互いに素な部分を足し合わせる)。各 $B_i$ は構成により $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$ を満たす。$B_i$ は互いに素であるから、$i$ について足し合わせると $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$ となり、$\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$ が得られる。最後に $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$ となり、これはまさに $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$ である。