デザルグの定理

2つの三角形が $\mathbb{R}^3$ 内の平面 $\pi$ にあるとみなし、$\pi$ の上方に空間的な配置を構成する:$\pi$ に属さない点 $\widehat{O}$、そして空間内の2つの異なる平面にある三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ と $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ を、直線 $\widehat{A}\widehat{A'}$、$\widehat{B}\widehat{B'}$、$\widehat{C}\widehat{C'}$ がすべて $\widehat{O}$ を通り、かつこの空間図を $\pi$ に射影し戻すと元の三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ が $O$ から透視的になるように配置する。

この空間図において、直線 $\widehat{B}\widehat{C}$ と直線 $\widehat{B'}\widehat{C'}$ はどちらも $\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C}$ が張る平面内にある($\widehat{B'}$ と $\widehat{C'}$ はそれぞれ $\widehat{O}$ と $\widehat{B}, \widehat{C}$ を通る直線上にあるため)ので、これら2直線は点 $\widehat{P}$ で交わる。同様に、辺 $CA$ と $AB$ に対応する交点として $\widehat{Q}$ と $\widehat{R}$ が空間内に存在する。

3点 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ はいずれも三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ を含む平面内にある(それぞれが2辺の組から作られるため)と同時に、$\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ を含む平面内にもある。したがって $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ は、これら2平面が交わる直線上にある。なぜなら、空間内の異なる2平面は必ずちょうど1本の直線で交わるからである。

この空間配置を平面 $\pi$ に射影し戻すと $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ は $P, Q, R$ に写り、共線性は保たれる。なぜなら、ある点からの射影は任意の直線を直線に写すからである。したがって $P, Q, R$ は $\pi$ 内で共線であり、これがまさにデザルグの定理である。