フェイエールの定理

ステップ1(フェイエール核は正の近似単位元である)。$D_0,\ldots,D_N$ を平均し、望遠鏡型の三角関数恒等式を用いると、閉じた形 $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$ が得られる。$F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ かつ任意の $k$ について $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$ なので、$\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$ でもある。非負であることから $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ でもあり、したがって $L^1$ ノルムは決して爆発しない。

ステップ2(質量が $0$ に集中する)。任意に固定した $\delta>0$ に対し、$\delta \le |x| \le \pi$ では分母 $\sin(x/2)^2$ が正の定数で下から評価できるので、その範囲で一様に $F_N(x) = O(1/N)$ となる。$[-\delta,\delta]$ の外側の質量は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。

ステップ3(近似単位元の評価)。$\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$ を用いて $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$ と書く。積分を $|y|<\delta$ と $\delta\le|y|\le\pi$ に分ける。前半では、$f$ の一様連続性により $\delta$ を小さくとれば $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$ となり、$F_N\ge0$ かつ全質量 $1$ よりその部分は $\varepsilon$ で抑えられる。後半では $F_N=O(1/N)$ かつ $f$ が有界なので、その部分は $N\to\infty$ のとき $\to 0$ となる。両方の評価は $x$ について一様なので、$\sigma_N f\to f$ が一様に成り立つ。