M.リースの定理

ステップ1($L^2$、直接)。プランシュレルの定理と乗数の公式により、$\xi\ne0$ で $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$ であることを用いて $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$ が成り立つ(一点は積分に影響しない)。したがって $H$ は $L^2(\mathbb{R})$ 上の等長写像であり、特に $C_2=1$ で有界である。

ステップ2(一般の $1<p<\infty$、後方参照)。指数の全範囲は、ステップ1からいかなる易しい議論によっても従わない。これは実変数コルデロン–ジグムント理論の正真正銘の定理である:ヒルベルト変換の核 $1/(\pi x)$ は、コルデロン–ジグムント核の滑らかさと打ち消し条件をまさに満たしており、そのため次節で展開される一般的な特異積分の機構がそのまま適用できる。その機構は、ステップ1で証明した $L^2$ の評価から弱形 $(1,1)$ の評価を生み出し、弱-$(1,1)$ 評価と $L^2$ 評価の間のマルツィンキェヴィッチ補間(そして $p>2$ に対する双対性の議論)によって、すべての $1<p<\infty$ について証明が完成する——この議論の後半部分は、ここで繰り返す代わりに、すぐ下のコルデロン–ジグムントの節で完全に実行される。