オストロフスキーの定理（1916年）

概略。$|\cdot|$ を $\mathbb{Q}$ 上の非自明な絶対値とする。場合1（非アルキメデス）： すべての整数 $n$ について $|n| \le 1$ ならば、集合 $\mathfrak{p} = \{n \in \mathbb{Z} : |n| < 1\}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルである（$\mathbb{Z}$ 上 $|n|\le1$ を満たす任意の絶対値が自動的に満たす超距離不等式により加法で閉じており、素性により乗法でも閉じている）。したがって一意の素数 $p$ について $\mathfrak{p} = (p)$ であり、$|p|$ を $p^{-1}$ と比較し乗法性を用いると $|\cdot|$ が $|\cdot|_p$ と同値であることが分かる。場合2（アルキメデス）： ある整数 $n_0$ について $|n_0| > 1$ ならば、$n_0$ を底として任意の整数 $n > 1$ を表し、三角不等式と $|n_0^k| = |n_0|^k \to \infty$ を用いて $|n|$ を $n$ 自身の冪で上下から評価すると、$n$ に依存しない定数 $c \in (0,1]$ について $|n| = n^c$ が強制される；これにより $|\cdot|$ は $|\cdot|_\infty$ と同値になる。