プランシュレルの定理

ステップ1(特別な場合)。まずガウス関数 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ についてこの等式を確認する。指数部の平方完成による直接計算から $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$ が得られ、 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ の両辺は同じガウス積分 $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$ に等しくなる。

ステップ2(線形性と畳み込み定理による拡張)。良い性質を持つ(シュワルツ)関数 $f$ に対して、 $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ として $g = f * \tilde f$ と置く。すると $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$ であり、畳み込み定理 $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ とフーリエ反転公式により $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ となる。これによりガウス関数を含むすべての滑らかで急減少なシュワルツ関数について等式が証明される。

ステップ3(稠密性の議論)。シュワルツ関数は $L^2(\mathbb{R})$ の中で稠密である: 任意の $f \in L^2$ は $L^2$ ノルムに関してシュワルツ関数の列 $f_n \to f$ の極限として得られる。ステップ2によりフーリエ変換はこの稠密な部分空間上で等長写像であるから、それは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ を満たしたまま $L^2(\mathbb{R})$ 全体への有界作用素として一意に拡張される——この拡張こそが、定義積分 $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ が絶対収束しないことがある $L^2$ 関数の『フーリエ変換』の意味である。