ポアソン和公式

ステップ1(周期化)。シュワルツ関数 $f$ に対して $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$ と定める。 $f$ の急減少性によりこの和は絶対かつ一様に収束し、 $F$ は周期1の滑らかな関数となるので、円周上で独自のフーリエ級数を持つ。

ステップ2(周期化されたもののフーリエ係数を計算する)。 $F$ の第 $k$ フーリエ係数は $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$ である。各項で $y = x+n$ と置換し、 $e^{-2\pi i k x}$ の $n$ に関する周期性を使うと、断片は $\mathbb{R}$ 全体にわたる一つの積分にまとまる: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$。

ステップ3( x=0 で評価する)。 $F$ は滑らかなので、そのフーリエ級数は各点でそれ自身に収束し、特に $x=0$ では $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$、すなわち $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$ が成り立つ。左辺は定義よりまさに $F(0) = \sum_n f(n)$ であり、これで証明が完了する。