ウィグナーの半円則

ステップ1(目標)。$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 上の半円密度 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ のモーメントはカタラン数である:$2k$ 次モーメントは $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ に等しく、奇数次モーメントは対称性によりすべて0になる。したがって、スケーリングされた経験的固有値分布のモーメントがこれらと同じ数に収束することを示せばよい。

ステップ2(トレースの展開)。$\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$ と書くと、これは $\{1,\dots,N\}$ 上の長さ $2k$ の閉路和である。期待値を取り成分の独立性を用いると、$\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ は $2k$ 個の因子をペアに分ける方法についての和に分解され、各ペアの2次モーメント $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ の積となる(平均0のため奇数次の同時モーメントは消え、ペアにならない因子も $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$ のため消える)。

ステップ3(主要項で生き残るのは交差しないペアリングのみ)。各ペアリングは閉路の辺を同一視する方法に対応し、あるペアリングは訪れる異なる頂点数に応じた $N$ のべきを寄与する。数え上げにより、あるペアリングが $N^{k+1}$ の位数で寄与するのは、同一視された辺が $2k$ 個の端点の交差しない(平面的な)ペアリングをなす場合のみであり、交差するペアリングは $N$ について厳密に低次の寄与しかせず、正規化のため $N^{k+1}$ で割った後には消える。

ステップ4(数え上げて結論)。円周上の $2k$ 個の点の交差しないペアリングの数はちょうどカタラン数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ である。よって $N \to \infty$ のとき $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$ となり、$\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ のモーメントと項ごとに一致する。半円分布はモーメントによって一意に定まるため、経験的スペクトル分布はそれに収束する。