確率と統計

ランダム行列理論

ランダムな成分を持つ行列の固有値の統計的振る舞いを研究し、物理学や数論と結びつく分野。

直観直感:ランダム行列の固有値の雲

$N \times N$ の表に独立なランダムな数を入れて対称化し、固有値を計算してみる。1つの行列は予測不能な数の並びを与える。しかし何千もの独立なランダム行列の固有値をまとめてヒストグラムにすると、毎回同じ滑らかな曲線が現れる——半円盤のような盛り上がりである。この形は成分がガウス分布でも一様分布でもコイン投げでも変わらない:平均と分散だけが重要である。全く異なるランダムな材料にもかかわらず現れるこの安定性は普遍性と呼ばれ、ランダム行列理論の中心的な驚きである。

ウィグナーの半円則

\rho(x) = \frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}

(赤線)と、大次元対称ランダム行列の

[-2, 2]

上での経験固有値ヒストグラム(紫の棒)。

大学定義:ガウス型ランダム行列アンサンブル

定義: GOEとGUE

ガウス直交アンサンブル(GOE)は、サイズ $N \times N$ の実対称なランダム行列 $H = H^T$ からなり、その成分 $H_{ij}$ は独立なガウス変数で(非対角成分の分散は対角成分の半分)、直交行列による共役で不変である。ガウスユニタリアンサンブル(GUE)は複素エルミート行列 $H = H^\dagger$ からなり、非対角成分は独立な複素ガウス変数、対角成分は実ガウス変数であり、ユニタリ行列による共役で不変である。いずれの場合も固有値 $\lambda$ は $\det(H-\lambda I)=0$ を満たし、 $H$ が対称またはエルミートであるため常に実数である。

\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}, \qquad x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]

ここで $\rho(x)$ は $\sqrt{N}$ でスケーリングした後の固有値の極限密度( $N \to \infty$ としても広がりが縮んだり発散したりしないようにする)、 $x$ はスケーリングされた固有値の位置であり、密度は $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ の上にのみ存在する:極限においてスケーリングされた固有値がこの区間の外に出ることはない。これがウィグナー半円則であり、GOE、GUE、さらに実は任意のウィグナー行列(平均 $0$ で分散が揃った独立成分)に対して、成分の具体的な分布によらず成り立つ。

p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}

ここで $s \ge 0$ は局所的な平均間隔を $1$ に正規化した後の連続する2つの固有値の間隔であり、 $p(s)$ はGOEにおけるその間隔の確率密度である。 $s \to 0$ のとき $p(s) \to 0$ となるため(実際 $p(0)=0$ )、固有値は互いに近づくのを積極的に避ける:この準位反発は、間隔が $0$ 付近に集まる独立なポアソン分布の点とランダム行列の統計を区別する定性的な特徴である。

GOE と GUE の比較
性質	GOE	GUE
行列の種類	実対称, $H = H^T$	複素エルミート, $H = H^\dagger$
対称群	直交群 $O(N)$	ユニタリ群 $U(N)$
ダイソン指数	$\beta = 1$	$\beta = 2$
ウィグナー予想式	$p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$	$p(s) = \frac{32}{\pi^2} s^2 e^{-4s^2/\pi}$
$s=0$ 付近の準位反発	線形, $p(s) \sim s$	2次, $p(s) \sim s^2$

大学2つの基礎定理

定理: ウィグナーの半円則

$N \to \infty$ のとき、ウィグナー行列のスケーリングされた固有値の経験分布は、 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ を台とする密度 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ に(確率収束・分布収束の意味で)収束する。

なぜ正しいのか?

Hのべき乗のトレースは添字集合上の閉路和になる。成分は独立で平均0なので、各辺を偶数回通る経路だけが期待値の中で生き残り、支配的に残る経路を数える問題は純粋に組合せ論的な問題に帰着し、その答えはカタラン数——まさに半円分布のモーメントである。

証明

ステップ1(目標)。 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 上の半円密度 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ のモーメントはカタラン数である: $2k$ 次モーメントは $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ に等しく、奇数次モーメントは対称性によりすべて0になる。したがって、スケーリングされた経験的固有値分布のモーメントがこれらと同じ数に収束することを示せばよい。

ステップ2(トレースの展開)。 $\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$ と書くと、これは $\{1,\dots,N\}$ 上の長さ $2k$ の閉路和である。期待値を取り成分の独立性を用いると、 $\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ は $2k$ 個の因子をペアに分ける方法についての和に分解され、各ペアの2次モーメント $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ の積となる(平均0のため奇数次の同時モーメントは消え、ペアにならない因子も $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$ のため消える)。

ステップ3(主要項で生き残るのは交差しないペアリングのみ)。各ペアリングは閉路の辺を同一視する方法に対応し、あるペアリングは訪れる異なる頂点数に応じた $N$ のべきを寄与する。数え上げにより、あるペアリングが $N^{k+1}$ の位数で寄与するのは、同一視された辺が $2k$ 個の端点の交差しない(平面的な)ペアリングをなす場合のみであり、交差するペアリングは $N$ について厳密に低次の寄与しかせず、正規化のため $N^{k+1}$ で割った後には消える。

ステップ4(数え上げて結論)。円周上の $2k$ 個の点の交差しないペアリングの数はちょうどカタラン数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ である。よって $N \to \infty$ のとき $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$ となり、 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ のモーメントと項ごとに一致する。半円分布はモーメントによって一意に定まるため、経験的スペクトル分布はそれに収束する。

定理: 準位間隔に関するウィグナー予想式

$2\times2$ のGOE行列に対して、(正規化された)固有値の間隔の分布はちょうど $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ である。ウィグナーの発見的議論は、この小さな行列の公式が $N$ が大きいときの完全な $N\times N$ GOE の定性的な局所間隔統計をすでに捉えているというものであり、この主張は後にゴーダンとメータによる厳密な相関関数の手法によって(完全に一致するわけではないが高精度で)厳密に確認された。

なぜ正しいのか?

2x2 行列は、固有値の間に間隔が存在する最小の系であり、成分の同時密度を手計算できるほど小さい——それでいて本質的な機構(間隔は非対角成分に依存し、固有値が縮退するにはそれが消える必要があり、その消滅が反発をもたらす単一の追加条件になっている)をすでに含んでいる。

証明

ステップ1(設定)。 $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ を、 $a,c$ が独立な標準正規分布、 $b$ が分散 $\frac12$ の独立な正規分布である $2\times2$ のGOE行列とする。特性多項式から固有値 $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$ が得られ、間隔は $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$ である。

ステップ2(変数変換)。 $u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$ とおく;分散を直接確認すると $u$ と $v$ は独立な標準正規変数であり、 $s = \sqrt{u^2+v^2}$ が厳密に成り立つ。なぜなら $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ は置換後 $2(u^2+v^2)$ に簡約されるからであり、したがって $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$ 、すなわち $s$ は標準2次元ガウスベクトルの半径の $\sqrt{2}$ 倍である。

ステップ3(極座標)。標準2次元ガウスベクトルの半径 $r=\sqrt{u^2+v^2}$ は密度 $r\,e^{-r^2/2}$ のレイリー分布に従う(同時ガウス密度 $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ を角度について積分すると係数 $2\pi$ が生じ、 $du\,dv = r\,dr\,d\theta$ からヤコビアン $r$ が生じる)。 $r = s/\sqrt2$ とおき $dr = ds/\sqrt2$ を用いると、これはある定数 $c$ について $s$ に関する密度 $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$ になる。

ステップ4(正規化)。平均間隔 $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$ (理論全体で用いられる規約)となるように $c$ を固定すると $c = \pi/2$ に定まり、ちょうど $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ が得られる——これは主張した式と一致する。

研究現在の研究:行列の固有値からゼータ関数の零点へ

1972年、数論学者ヒュー・モンゴメリーはリーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ の非自明な零点 $\frac{1}{2} + i\gamma_n$ の間隔を研究しており、プリンストンでのお茶の時間に物理学者フリーマン・ダイソンに自分のペア相関公式を見せた。ダイソンは即座にそれを見抜いた:それはGUE固有値のペア相関関数と同じだったのである。後にアンドリュー・オドリズコが数百万個のゼータ零点を数値的に計算し、驚くべき精度で一致を確認した——これがモンゴメリー・オドリズコ則であり、ゼータ零点の局所統計がGUE固有値統計と一致するという予想である。

研究の最前線 2026年時点

普遍性——局所固有値統計(間隔、反発)が行列成分の正確な分布ではなく平均と分散のみに依存するという事実——は長らく数値的に観測されていたが、2000年代から2010年代になってようやく広いクラスのランダム行列に対して証明された。テレンス・タオとヴァン・ヴーによる4次モーメント定理(2010年)は、ウィグナー行列の局所間隔統計が主要項において成分分布の最初の4つのモーメントのみに依存することを示し、厳密性をガウス分布の場合をはるかに超えて拡張した。現在追求されている未解決の方向には次のものがある:モンゴメリー・オドリズコの対応を無条件に証明すること(現在は数値的および部分的な仮説のもとでのみ確認されている)、疎で構造を持つネットワーク科学に関連するランダム行列に普遍性を拡張すること、そして多体量子系のカオスを分類するためにランダム行列の普遍性クラスを用いること。

大学実世界での応用と具体例

ランダム行列統計は、多くの相互作用する同程度のスケールのランダム成分を持つ系であればどこにでも現れる。金融では、数百の株式リターンの相関行列はノイズに支配されており、マルチェンコ・パストゥール則(相関型行列に対する半円則のいとこ)は、ポートフォリオマネージャーにどの固有値が本物のシグナルでどれがリスク推定前に除去すべきノイズかを教える。無線通信では、マルチアンテナ(MIMO)チャネルの容量はランダムチャネル行列の固有値分布によって決まる。原子核・原子物理学では、ウィグナーの本来の動機であるように、複雑な原子核のエネルギー準位間隔はGOE予想式に従う。生態学では、メイのランダム行列安定性基準は半円則の端を用いて、大きな食物網がいつ動的に不安定になるかを予測する。数論では、上で見たように、ゼータ零点の統計はGUEの予測と一致する。

例: 金融相関行列のノイズ除去

あるポートフォリオマネージャーが $N=50$ 資産の $T=200$ 取引日にわたるリターンデータから $N \times N$ 型の相関行列を推定し、アスペクト比 $q = N/T = 0.25$ を得た。「純粋なノイズ」の最大固有値に対するマルチェンコ・パストゥール上限は $\lambda_{\max} = (1+\sqrt{q})^2$ である。標本相関行列のある固有値が $\lambda = 3.1$ と計算された。この固有値はシグナルかノイズか?

解答

まず雑音の上限を計算する: $q=0.25$ のとき、 $\lambda_{\max} = (1+\sqrt{q})^2$ より $\lambda_{\max} = (1+\sqrt{0.25})^2 = (1+0.5)^2 = 2.25$ となる。

この $2.25$ は、このアスペクト比を持つ純粋にランダム(無構造)な相関行列が、 $N$ が大きい極限において高い確率で生み出しうる最大固有値である。

観測された固有値 $\lambda = 3.1$ は $2.25$ を超えている。マルチェンコ・パストゥールのバルクの外にあるため、サンプリングノイズだけでは説明できない:データの中に本物の共通因子(例えば市場全体のリスク因子)が存在することを示している。

実務では、マネージャーはこの固有値(とその固有ベクトル)を本物のリスク因子として残し、ポートフォリオ最適化のために行列を逆行列化する前に $2.25$ 未満の固有値はすべて平坦なノイズフロアに置き換える——これはまさに共分散推定を安定化させるための固有値クリッピング技法である。

例: ウィグナー予想式による間隔確率の計算

GOEのウィグナー予想式 $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ を用いて、正規化された準位間隔が平均間隔を超える確率、すなわち $P(s>1)$ を求めよ。

解答

$P(s>1) = \int_1^\infty \frac{\pi t}{2} e^{-\pi t^2/4}\,dt$ 。置換 $u = \pi t^2/4$ を行うと、 $du = \frac{\pi t}{2}\,dt$ が前係数をちょうど打ち消し、積分は $\int_{\pi/4}^\infty e^{-u}\,du$ となる。

この初等的な積分は $[-e^{-u}]_{\pi/4}^{\infty} = 0 - (-e^{-\pi/4}) = e^{-\pi/4}$ と評価される。

数値的には $\pi/4 \approx 0.7854$ なので $e^{-\pi/4} \approx 0.4559$ である。

したがって、準位反発が小さな間隔を減らすにもかかわらず、連続する2つの正規化固有値が平均より離れて間隔を持つ確率はなお相当( $\approx 45.6\%$ )である——反発は非常に小さな間隔を抑制するのであって、大きな間隔を稀にするわけではない。

よくある誤り. よくある誤りは、「ランダムに見える」成分を持つ大きな行列は自動的にここで示した正確な正規化のもとで半円則に従うと仮定することである。この法則は、独立で分散が揃った有限分散の成分を持つこと、そして(古典的なGOE/GUEの主張については)対称またはエルミート構造を持つことを要求する。成分間に強い相関があったり、裾の重い分布であったり、疎・構造化されたパターンを持つ行列は、まったく異なる極限形状に収束する(あるいは全く収束しない)ことがある。経験的固有値ヒストグラムを

\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}

と比較する前に、必ず分散の正規化(

\sqrt{N}

スケーリング)を確認すること。

ウィグナー半円則 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ によれば、標準的な $\sqrt{N}$ スケーリング後、密度はどの区間を台とするか?

なぜウィグナー予想式 $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ は $p(0)=0$ を満たすのか?

あるポートフォリオマネージャーが $N=50$ 資産、 $T=200$ 観測( $q = N/T = 0.25$ )を持ち、標本相関の固有値が $2.0$ であるとわかった。 $\lambda_{\max} = (1+\sqrt{q})^2$ を用いると、この固有値はシグナルとノイズのどちらとして扱うべきか?

モンゴメリー・オドリズコ則は、 $\zeta(s)$ の非自明な零点 $\frac{1}{2} + i\gamma_n$ の間隔統計がどのランダム行列アンサンブルと一致すると予想するか?

参考文献

Alan Edelman, N. Raj Rao (2005). Random matrix theory
Wikipedia contributors (2024). Montgomery's pair correlation conjecture
Wikipedia contributors (2024). Wigner semicircle distribution