準位間隔に関するウィグナー予想式

ステップ1(設定)。$H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ を、$a,c$ が独立な標準正規分布、$b$ が分散 $\frac12$ の独立な正規分布である $2\times2$ のGOE行列とする。特性多項式から固有値 $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$ が得られ、間隔は $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$ である。

ステップ2(変数変換)。$u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$ とおく;分散を直接確認すると $u$ と $v$ は独立な標準正規変数であり、$s = \sqrt{u^2+v^2}$ が厳密に成り立つ。なぜなら $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ は置換後 $2(u^2+v^2)$ に簡約されるからであり、したがって $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$、すなわち $s$ は標準2次元ガウスベクトルの半径の $\sqrt{2}$ 倍である。

ステップ3(極座標)。標準2次元ガウスベクトルの半径 $r=\sqrt{u^2+v^2}$ は密度 $r\,e^{-r^2/2}$ のレイリー分布に従う(同時ガウス密度 $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ を角度について積分すると係数 $2\pi$ が生じ、$du\,dv = r\,dr\,d\theta$ からヤコビアン $r$ が生じる)。$r = s/\sqrt2$ とおき $dr = ds/\sqrt2$ を用いると、これはある定数 $c$ について $s$ に関する密度 $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$ になる。

ステップ4(正規化)。平均間隔 $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$(理論全体で用いられる規約)となるように $c$ を固定すると $c = \pi/2$ に定まり、ちょうど $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ が得られる——これは主張した式と一致する。