1次関数のグラフは直線である

グラフ上の2点間の増分を計算する: 上昇 $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$。両点が同じ規則 $y=ax+b$ を満たすことを用いた。

$x_1\ne x_2$ なので、両辺を進み $x_2-x_1\ne 0$ で割ることができる: $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

この計算は値 $x_1,x_2$ と規則 $y=ax+b$ のみを使っており、$b$ の項は完全に打ち消し合った——したがって、選んだ2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ に関わらず比は $a$ に等しい。すべての点対の間の傾きが同じ固定された数であるような曲線は、直線性の幾何学的定義により、直線である。したがって $y=ax+b$ のグラフは傾き $a$ の直線である。

逆に、点 $(x_0,y_0)$ を通り傾き $a$ を持つ任意の垂直でない直線に対して、$b=y_0-ax_0$ とすると、そのグラフがちょうどその直線であるような1次関数 $y=ax+b$ が得られ、1次関数と垂直でない直線との対応の逆方向が確立される。