関数とそのグラフ

関数は各入力に対してちょうど1つの出力を割り当てるので、あるグラフが与えられた垂直線に2回当たるなら、同じ $x$ に対して2つの異なる $y$ の値を割り当てることになり、「ちょうど1つの出力」という規則を破ることになる。

($\Rightarrow$) $C$ がある関数 $f$ のグラフであるとする。すると $C$ のすべての点はある入力 $x_0$ に対して $(x_0,f(x_0))$ の形をしている。任意の垂直線 $x=x_0$ を固定する。その上にありうる $C$ の点は第一座標が $x_0$ であるものだけであり、$f$ は $x_0$ に対して1つの値しか割り当てないため、そのような点は $(x_0,f(x_0))$ の1つだけである。よってその直線は $C$ と高々1点で交わる。

($\Leftarrow$) 逆に、すべての垂直線が $C$ と高々1点で交わると仮定する。$f$ を次のように定義する: $C$ の点がその上にある各 $x_0$ に対して、$f(x_0)$ をその(仮定により一意な)点の $y$ 座標とする。これは各入力に高々1つの出力しか割り当てないので、$f$ はwell-definedな関数であり、構成によりそのグラフはちょうど $C$ である。

この2つの方向を合わせると、同値性が示される: 関数のグラフであることと垂直線テストに合格することは、2つの角度から見た同じ性質である。

すべての点対の間で傾きが一定であることは、まさに「直線的」の幾何学的定義である——方向が決して曲がらない。

グラフ上の2点間の増分を計算する: 上昇 $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$。両点が同じ規則 $y=ax+b$ を満たすことを用いた。

$x_1\ne x_2$ なので、両辺を進み $x_2-x_1\ne 0$ で割ることができる: $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

この計算は値 $x_1,x_2$ と規則 $y=ax+b$ のみを使っており、$b$ の項は完全に打ち消し合った——したがって、選んだ2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ に関わらず比は $a$ に等しい。すべての点対の間の傾きが同じ固定された数であるような曲線は、直線性の幾何学的定義により、直線である。したがって $y=ax+b$ のグラフは傾き $a$ の直線である。

逆に、点 $(x_0,y_0)$ を通り傾き $a$ を持つ任意の垂直でない直線に対して、$b=y_0-ax_0$ とすると、そのグラフがちょうどその直線であるような1次関数 $y=ax+b$ が得られ、1次関数と垂直でない直線との対応の逆方向が確立される。