底の変換公式

$y=\log_b x$ とする。対数の定義により、これは $b^y=x$ を意味する。

対数の定義を再び(今度は底 $c$ に対して)用いると、$b$ 自身は $b=c^{\log_c b}$ と書ける。これを $b^y=x$ に代入する: $$(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$$ べき乗のべき乗の法則 $(c^m)^y=c^{my}$ を用いた。

両辺の $\log_c$ をとる。定義により、$c^{y\log_c b}=x$ はちょうど $\log_c x = y\log_c b$ を意味する(積法則の証明で用いた単射性 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ と同じ事実が、このステップが単に「もっともらしい」のではなく有効であることを保証する)。

$c\ne 1$ なので $\log_c b \ne 0$($c^0=1\ne b$ のため)であり、両辺を $\log_c b$ で割ることができる: $$y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$$ $y=\log_b x$ を思い出すと、ちょうど $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ が得られる。