指数関数と対数関数

対数はただの偽装された指数であり、対応するべき乗を掛けると指数は足し合わされる——だから対数の中の乗算はその外側では加算に変わるはずである。

$u=\log_a x$、$v=\log_a y$ とする。対数の定義(指数関数の逆関数である)により、これはちょうど $a^u=x$ と $a^v=y$ を意味する。

この2つの式を掛け合わせる: $xy = a^u \cdot a^v$。指数法則 $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$ により右辺は $a^{u+v}$ に等しく、$xy=a^{u+v}$ となる。

再び対数の定義により、$xy=a^{u+v}$ はちょうど $\log_a(xy)=u+v$ を意味する——ただしこれは、与えられた出力を生む指数が一意であること、すなわち $a>0,a\ne 1$ のとき $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ であることを用いている(指数関数は $a>1$ のとき狭義増加、$0<a<1$ のとき狭義減少であるため、異なる2つの指数に対して同じ出力を決して与えない)。

$u=\log_a x$、$v=\log_a y$ を戻すと $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$、すなわち $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ が得られる。

電卓やコンピュータは1つか2つの固定された底の対数しか実装していない。この公式は「$c$ を何回掛ける必要があるか」で「$b$ を何回掛ける必要があるか」を表すことで、任意の底をそれらから計算できるようにする。

$y=\log_b x$ とする。対数の定義により、これは $b^y=x$ を意味する。

対数の定義を再び(今度は底 $c$ に対して)用いると、$b$ 自身は $b=c^{\log_c b}$ と書ける。これを $b^y=x$ に代入する: $$(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$$ べき乗のべき乗の法則 $(c^m)^y=c^{my}$ を用いた。

両辺の $\log_c$ をとる。定義により、$c^{y\log_c b}=x$ はちょうど $\log_c x = y\log_c b$ を意味する(積法則の証明で用いた単射性 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ と同じ事実が、このステップが単に「もっともらしい」のではなく有効であることを保証する)。

$c\ne 1$ なので $\log_c b \ne 0$($c^0=1\ne b$ のため)であり、両辺を $\log_c b$ で割ることができる: $$y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$$ $y=\log_b x$ を思い出すと、ちょうど $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ が得られる。