単調性の十分条件

$[a,b]$ 内の任意の $x_1<x_2$ を取る。$f$ は $[x_1,x_2]$ で連続、$(x_1,x_2)$ で微分可能だから、ラグランジュの平均値の定理により、ある $c\in(x_1,x_2)$ が存在して $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$ となる。

$f'(c)\ge 0$ かつ $x_2-x_1>0$ なので右辺は $\ge 0$、よって $f(x_2)\ge f(x_1)$。これで $f$ が $[a,b]$ で非減少であることが示された。

$f'$ の有限個の零点にもかかわらず「非減少」を真の「増加」に高めるため、それらの零点を $(x_1,x_2)$ 内で $t_1<t_2<\dots<t_k$ とする。列 $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$ の連続する2点の間の各開区間では $f'$ は真に正であるから、同じ平均値の定理の議論をその区間内の任意の2点に適用すると、そこでの $u<v$ に対して厳密な不等式 $f(u)<f(v)$ が得られる。

$f$ の連続性により、連続する区間での厳密な不等式は繋がる。例えば $x_1<u<t_1<v<x_2$ なら $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$ であり、$u,v$ を両端に任意に近づけてもこれが成り立つことから $f(x_1)<f(x_2)$ が従う。よって $f$ は $[a,b]$ で（真に）増加である。減少の場合は $-f$ にこの議論を適用すればよい。