導関数の応用

導関数が正であるとは、すべての接線が上り坂を向いていることを意味し、上り坂の接線に沿い続ける曲線は下に戻ることができない。ラグランジュの平均値の定理は、この描像を任意の2点間の厳密な不等式に変える。

$[a,b]$ 内の任意の $x_1<x_2$ を取る。$f$ は $[x_1,x_2]$ で連続、$(x_1,x_2)$ で微分可能だから、ラグランジュの平均値の定理により、ある $c\in(x_1,x_2)$ が存在して $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$ となる。

$f'(c)\ge 0$ かつ $x_2-x_1>0$ なので右辺は $\ge 0$、よって $f(x_2)\ge f(x_1)$。これで $f$ が $[a,b]$ で非減少であることが示された。

$f'$ の有限個の零点にもかかわらず「非減少」を真の「増加」に高めるため、それらの零点を $(x_1,x_2)$ 内で $t_1<t_2<\dots<t_k$ とする。列 $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$ の連続する2点の間の各開区間では $f'$ は真に正であるから、同じ平均値の定理の議論をその区間内の任意の2点に適用すると、そこでの $u<v$ に対して厳密な不等式 $f(u)<f(v)$ が得られる。

$f$ の連続性により、連続する区間での厳密な不等式は繋がる。例えば $x_1<u<t_1<v<x_2$ なら $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$ であり、$u,v$ を両端に任意に近づけてもこれが成り立つことから $f(x_1)<f(x_2)$ が従う。よって $f$ は $[a,b]$ で（真に）増加である。減少の場合は $-f$ にこの議論を適用すればよい。

極値では接線が水平でなければならない。なぜなら曲線は山頂（谷底）を越えて向きを変えずに上昇（下降）し続けることはできないからである。第2次導関数はその平らな点で曲線がどちら向きに曲がるかを測り、谷と山を区別する。

（必要性）$x_0$ が局所極大であるとする（局所極小の場合も同様）。ある $\delta>0$ が存在し、$|x-x_0|<\delta$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x)\le f(x_0)$ となる。$h\in(0,\delta)$ に対して $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$ であり、$h\to 0^+$ とすると $f'(x_0)\le 0$。$h\in(-\delta,0)$ に対しては分子が $\le 0$、分母が負なので $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$ であり、$h\to 0^-$ とすると $f'(x_0)\ge 0$。$f$ は $x_0$ で微分可能なので両側極限は一致し、$f'(x_0)=0$ が従う。

（十分性、$f''(x_0)>0$ の場合）$f'(x_0)=0$ であり $f''$ が $x_0$ の近くで存在するので、$f''$ を $f'$ の導関数とする定義から $x\to x_0$ のとき $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ となる。$f''(x_0)>0$ なので、この式は $x$ が $x_0$ よりわずかに小さいとき負、$x$ が $x_0$ よりわずかに大きいとき正である。

よって $f'$ は $x_0$ の前後で符号が $-$ から $+$ に変わる。単調性の定理により $f$ は $x_0$ のすぐ左で減少、すぐ右で増加しており、これはまさに $x_0$ における局所極小の定義である。

$f''(x_0)<0$ の場合はすべての不等号を逆にすれば同様であり、$f'$ が $+$ から $-$ に変わるので局所極大となる。$f''(x_0)=0$ のときは上の展開が $x_0$ 近傍での $f'$ の符号について何の情報も与えないため判定法は不能であり、$f'$ の符号を直接調べる必要がある（下の落とし穴で $f(x)=x^3$ を用いて示す）。