境界作用素の二乗はゼロ

単一の $n$-単体 $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ について主張を確認し、線形性で拡張すれば十分である。定義により $\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$、ここで $\hat{v_i}$ は $v_i$ が削除されることを意味する。

各項に $\partial_{n-1}$ を適用し、$[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ からさらに2番目の頂点 $v_j$（$j \ne i$）を削除すると、ちょうど2つの頂点 $v_i, v_j$ が欠けた面 $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ が得られる。符号を注意深く追うと：$j < i$ のとき、位置 $j$ が先に削除され（符号 $(-1)^j$）、すでに符号 $(-1)^i$ を持つ項の中にあるので、合計符号は $(-1)^{i+j}$；$j > i$ のとき、$(n-1)$-単体 $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ から $v_j$ を削除すると（$v_i$ がすでに削除されているため）位置 $j-1$ にある頂点が除かれ、符号は $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$ となる。

よって $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$。ちょうど2つの頂点 $\{v_i, v_j\}$（$i < j$）を欠く各面は、この二重和の中にちょうど2回現れる：$v_i$ を先に削除しその後 $v_j$ を削除する場合（寄与 $-(-1)^{i+j}$）と、$v_j$ を先に削除しその後 $v_i$ を削除する場合（寄与 $+(-1)^{i+j}$）であり、この2つの寄与は正確に打ち消し合う。

すべての項がペアで相殺するので、任意の単体 $\sigma$ について $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$、したがって線形性により $C_n$ 全体で $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$ が成り立つ。