ホモロジーとコホモロジー

この一つの恒等式がホモロジーをwell-definedにする：$\operatorname{im} \partial_{n+1} \subseteq \ker \partial_n$ を保証するので、$H_n(X)$ の定義における商が群として実際に意味を持つ。

単一の $n$-単体 $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ について主張を確認し、線形性で拡張すれば十分である。定義により $\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$、ここで $\hat{v_i}$ は $v_i$ が削除されることを意味する。

各項に $\partial_{n-1}$ を適用し、$[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ からさらに2番目の頂点 $v_j$（$j \ne i$）を削除すると、ちょうど2つの頂点 $v_i, v_j$ が欠けた面 $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ が得られる。符号を注意深く追うと：$j < i$ のとき、位置 $j$ が先に削除され（符号 $(-1)^j$）、すでに符号 $(-1)^i$ を持つ項の中にあるので、合計符号は $(-1)^{i+j}$；$j > i$ のとき、$(n-1)$-単体 $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ から $v_j$ を削除すると（$v_i$ がすでに削除されているため）位置 $j-1$ にある頂点が除かれ、符号は $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$ となる。

よって $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$。ちょうど2つの頂点 $\{v_i, v_j\}$（$i < j$）を欠く各面は、この二重和の中にちょうど2回現れる：$v_i$ を先に削除しその後 $v_j$ を削除する場合（寄与 $-(-1)^{i+j}$）と、$v_j$ を先に削除しその後 $v_i$ を削除する場合（寄与 $+(-1)^{i+j}$）であり、この2つの寄与は正確に打ち消し合う。

すべての項がペアで相殺するので、任意の単体 $\sigma$ について $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$、したがって線形性により $C_n$ 全体で $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$ が成り立つ。

これは、セル数の交代和（手で数えられる組合せ論的な量）が、ベッチ数の交代和（三角形分割によらず形にのみ依存する位相不変量）に等しいことを述べている。これは $V - E + F = 2$ をあらゆる次元に一般化したものである。

$n$ を固定し、境界写像 $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ を有限次元ベクトル空間間の線形写像とみなす（簡単のため $\mathbb{Q}$ 上で考える）。階数・退化次数の定理（rank-nullity）により、$\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$、ここで $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$ とする。

また、商の定義 $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$ から直接 $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$ となるので、$\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$ である。

代入すると、$\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$。ここで $n$ が $0$ から最高次元 $N$ までの交代和を作る：$\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$。

最後の2つの和において、項 $\operatorname{rank}\partial_k$ は $\operatorname{rank}\partial_n$ の和から一度（$n=k$、符号 $(-1)^k$）、$\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ の和から一度（$n=k-1$、符号 $(-1)^{k-1}$）現れる；この2つの符号は逆であるため、境界項 $\partial_0 = 0$ と $\partial_{N+1}=0$（どのみち寄与しない）を除き、各 $\operatorname{rank}\partial_k$ は正確に相殺する（望遠鏡和）。

残るのは $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$ であり、左辺は定義により $\chi(X)$ なので、これはまさに $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$ である。