オイラー・ポアンカレの定理

$n$ を固定し、境界写像 $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ を有限次元ベクトル空間間の線形写像とみなす（簡単のため $\mathbb{Q}$ 上で考える）。階数・退化次数の定理（rank-nullity）により、$\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$、ここで $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$ とする。

また、商の定義 $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$ から直接 $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$ となるので、$\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$ である。

代入すると、$\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$。ここで $n$ が $0$ から最高次元 $N$ までの交代和を作る：$\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$。

最後の2つの和において、項 $\operatorname{rank}\partial_k$ は $\operatorname{rank}\partial_n$ の和から一度（$n=k$、符号 $(-1)^k$）、$\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ の和から一度（$n=k-1$、符号 $(-1)^{k-1}$）現れる；この2つの符号は逆であるため、境界項 $\partial_0 = 0$ と $\partial_{N+1}=0$（どのみち寄与しない）を除き、各 $\operatorname{rank}\partial_k$ は正確に相殺する（望遠鏡和）。

残るのは $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$ であり、左辺は定義により $\chi(X)$ なので、これはまさに $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$ である。