定理証明済み

楕円の焦点距離の和の定理

内容

$P(x,y)$ が焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ を持ち $c^2=a^2-b^2$ を満たす楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上にあるとき、 $PF_1+PF_2=2a$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

これは楕円の定義を言い換えたものにすぎない:この曲線は、2つの焦点までの距離の和が一定である点として作られた。この定理は、その定数が長軸の長さ $2a$ であり、代数方程式と一致することを示す。

証明の概略

P(x,y) を楕円上の任意の点とし、r1 = PF1、r2 = PF2 とおく。距離の公式より r1^2 = (x+c)^2 + y^2、r2^2 = (x-c)^2 + y^2 であるから、r1^2 - r2^2 = 4cx となる。

左辺を (r1-r2)(r1+r2) = 4cx と因数分解する。楕円上の点は常に r1+r2 = s(ある正の定数 s、以下で s = 2a であることを確かめる)を満たすので、r1 - r2 = 4cx/s が得られる。

r1+r2 = s と r1-r2 = 4cx/s の2式を足し引きすると、r1 = s/2 + 2cx/s、r2 = s/2 - 2cx/s となる。r1 を r1^2 = (x+c)^2+y^2 に代入し、楕円の方程式から得られる y^2 = b^2(1-x^2/a^2) を用いて整理すると、s = 2a かつ c^2 = a^2-b^2 のときに x^2 の項が消える。

したがって一定の和は s = 2a であり、楕円上のすべての点は PF1+PF2 = 2a を満たす。

この定理を使うトピック

3つの円錐曲線

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。