10年生

3つの円錐曲線

円錐を切断して得られる楕円・双曲線・放物線で、平面上の方程式で定義される。

直観円錐を切る:一つの形から生まれる3つの曲線

二重円錐を平面で切ってみよう。平面を少し傾けると、閉じた卵形の曲線、楕円が現れる。円錐の母線に平行になるまでさらに傾けると、卵形が開いて放物線 ( $y^2=2px$ ) になる。さらに傾けて平面が円錐の両方の部分を切るようにすると、双曲線の2つの枝が現れる。これら3つの曲線——そして特別な楕円である円——はすべて、平面が円錐と異なる角度で出会うという同じ単純な発想から生まれる。

楕円

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

(焦点

F_1, F_2

と一定の距離和

PF_1+PF_2=2a

)、双曲線(漸近線付き)、放物線

y^2=2ax

(焦点と準線付き)を切り替えて比較しよう。

中高平面における標準方程式

定義: 楕円

楕円とは、平面上で2つの定点 $F_1,F_2$ (焦点)までの距離の和が一定である点 $P$ の集合であり、 $PF_1+PF_2=2a$ が成り立つ。ここで $2a$ は距離 $F_1F_2$ より大きい。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

ここで $a>b>0$ であり、頂点は $(\pm a,0)$ 、焦点は $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ で $c^2=a^2-b^2$ を満たす。数 $e=c/a$ は離心率と呼ばれ、楕円では $e<1$ である: $e$ が $0$ に近いほど楕円は円に近づく。

定義: 双曲線

双曲線とは、2つの定点 $F_1,F_2$ までの距離の差の絶対値が一定である点 $P$ の集合であり、 $|PF_1-PF_2|=2a$ が成り立つ。ここで $2a$ は $F_1F_2$ より小さい。

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

このとき焦点は $c^2=a^2+b^2$ を満たし、頂点は $(\pm a,0)$ 、 $|x|\to\infty$ のとき2つの枝は漸近線 $y=\pm\frac{b}{a}x$ に近づく。離心率は $e>1$ を満たし、枝が鋭いほど $e$ は大きくなる。

定義: 放物線

放物線とは、定点 $F$ (焦点)と定直線(準線)から等距離にある点 $P$ の集合である。標準位置では焦点は $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 、準線は $x=-\frac{p}{2}$ であり、方程式は $p>0$ として $y^2=2px$ となる。

y^2=2px

放物線上のすべての点で、 $F$ までの距離は直線 $x=-\frac{p}{2}$ までの距離に等しい。慣例により放物線の離心率は $e=1$ であり、楕円の $e<1$ と双曲線の $e>1$ のちょうど間にある。

3つの円錐曲線の比較
曲線	標準方程式	焦点の性質	離心率
楕円	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$PF_1+PF_2=2a$	$e<1$
双曲線	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\|PF_1-PF_2\|=2a$	$e>1$
放物線	$y^2=2px$	焦点までの距離 = 準線までの距離	$e=1$

大学定理:方程式から導かれる焦点の性質

定理: 楕円の焦点距離の和の定理

$P(x,y)$ が焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ を持ち $c^2=a^2-b^2$ を満たす楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上にあるとき、 $PF_1+PF_2=2a$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

これは楕円の定義を言い換えたものにすぎない:この曲線は、2つの焦点までの距離の和が一定である点として作られた。この定理は、その定数が長軸の長さ $2a$ であり、代数方程式と一致することを示す。

証明

P(x,y) を楕円上の任意の点とし、r1 = PF1、r2 = PF2 とおく。距離の公式より r1^2 = (x+c)^2 + y^2、r2^2 = (x-c)^2 + y^2 であるから、r1^2 - r2^2 = 4cx となる。

左辺を (r1-r2)(r1+r2) = 4cx と因数分解する。楕円上の点は常に r1+r2 = s(ある正の定数 s、以下で s = 2a であることを確かめる)を満たすので、r1 - r2 = 4cx/s が得られる。

r1+r2 = s と r1-r2 = 4cx/s の2式を足し引きすると、r1 = s/2 + 2cx/s、r2 = s/2 - 2cx/s となる。r1 を r1^2 = (x+c)^2+y^2 に代入し、楕円の方程式から得られる y^2 = b^2(1-x^2/a^2) を用いて整理すると、s = 2a かつ c^2 = a^2-b^2 のときに x^2 の項が消える。

したがって一定の和は s = 2a であり、楕円上のすべての点は PF1+PF2 = 2a を満たす。

定理: 双曲線の焦点距離の差の定理

$P(x,y)$ が焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ を持ち $c^2=a^2+b^2$ を満たす双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上にあるとき、 $|PF_1-PF_2|=2a$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

楕円が焦点距離の和が一定であることから作られるのと同様に、双曲線は焦点距離の差が一定であることから作られる。この定理は、平方項の間にマイナス符号を持つ代数方程式がその差一定の性質を生むことを確認し、その定数が $2a$ であることを定める。

証明

P(x,y) を右側の枝(x >= a)上の点とし、r1 = PF1、r2 = PF2 とおく。先と同様に r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx なので、(r1-r2)(r1+r2) = 4cx。

双曲線上では差 r1-r2 は符号を保ち、2つの枝の対称性により、その大きさはある定数 d に等しい。r1+r2 = 4cx/d と r1-r2 = d を組み合わせると r1 = d/2 + 2cx/d が得られる。

これを r1^2 = (x+c)^2+y^2 に代入し、双曲線の方程式から得られる y^2 = b^2(x^2/a^2-1) を用いる。展開して x^2 の係数を整理すると、d = 2a かつ c^2 = a^2+b^2 のときにすべての x について方程式が成り立つ。

したがって右側の枝では r1-r2 = 2a であり、鏡映対称の議論により左側の枝では r2-r1 = 2a となるので、いずれの場合も |PF1-PF2| = 2a。

大学実世界での応用と具体例

円錐曲線は、ある物理量が距離に応じて制御された形で変化するところに現れる。惑星や人工衛星は、引力を及ぼす天体を一方の焦点とする楕円軌道を描く(ケプラーの第一法則)。放物面鏡や衛星アンテナは、軸に平行に入射するすべての光線を1つの焦点に反射させる。これが自動車のヘッドライトの反射鏡、望遠鏡の鏡、電波用パラボラアンテナが放物線の形をしている理由である。双曲線はLORANのような航法システムに現れ、2つの固定送信機からの到達時間差によって受信機の位置が双曲線の一方の枝に定まる。また、彗星の一部のような束縛されていない開いた軌道にも現れる。

例: 軌道形の楕円の焦点と離心率

ある衛星の楕円軌道の断面(単位:千キロメートル)が $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ でモデル化されている。2つの焦点の座標と軌道の離心率を求めよ。

解答

方程式より a^2 = 25、b^2 = 9 なので、a = 5、b = 3(千km)。

c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 より c = 4 なので、焦点は F1(-4,0) と F2(4,0)。

離心率は e = c/a = 4/5 = 0.8。e が1にかなり近いため、この軌道は円に近いというよりかなり細長い。引力を及ぼす天体(地球)は中心ではなく一方の焦点にある。

例: 放物面衛星アンテナの焦点

ある衛星アンテナの断面(単位:センチメートル)は $y^2=12x$ を満たす。焦点を求め、軸に平行に到来するすべての信号がそこに反射される理由を説明せよ。

解答

$y^2=12x$ を $y^2=2px$ と比べると $2p=12$ なので $p=6$ 。

この位置での放物線の焦点は $\left(\frac{p}{2},0\right)$ にあるので、ここでは $(3,0)$ である。

放物線の反射性質によれば、軸に平行に進む光線は曲線で跳ね返るとき常に向きを変えて焦点を通る(逆に、焦点からの信号は平行な光線束に反射される)。これは上で示した楕円・双曲線の定理で使われた幾何学的事実を、一方の焦点が無限遠に押しやられた場合に特殊化したものである。

したがって、軸に平行に皿に当たるすべての電波は、受信機が置かれる単一の点 $(3,0)$ に収束する。

楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ において、中心から焦点までの距離 $c$ はいくつか。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ において、中心から各焦点までの距離 $c$ はいくつか。

離心率が $e=1$ である円錐曲線はどれか。

放物面型の衛星アンテナが軸に平行に届く電波を集める。反射された電波がすべて1点に集まるようにするには、受信機をどこに置くべきか。