直線と平面の垂直判定法

交点 $O$ を原点とし、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の方向ベクトルとする。$a$ と $b$ は交わる相異なる直線なので $\vec{u}$ と $\vec{v}$ は線形独立であり、両者は平面 $(\alpha)$ 内のあらゆる方向を張る。すなわち任意の直線 $c \subset (\alpha)$ の方向ベクトルは、ある実数 $\lambda, \mu$ を用いて $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ と書ける。

$d$ の方向ベクトルを $\vec{n}$ とする。仮定 $d \perp a$ と $d \perp b$ は内積の等式 $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ と $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ に対応する。平面 $(\alpha)$ 内の方向 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ を持つ直線 $c$ について、内積の線形性より $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$ を得る。

任意の直線 $c \subset (\alpha)$ の方向と $\vec{n}$ の内積が 0 になるので、$d$ は $(\alpha)$ 内のすべての直線に垂直であり、これはまさに $d \perp (\alpha)$ の定義そのものである。