円周角の定理とタレスの半円の系

ステップ1（頂点から直径を引き二等辺三角形を用いる）。頂点と中心を通る直径 $CD$ を引く。二本の半径の長さは等しく $OA = OC = R$ であるから、三角形 $\triangle OAC$ は中心を頂角とする二等辺三角形であり、その底角は等しい：$\angle OCA = \angle OAC$。

ステップ2（両方の半分に外角の定理を適用する）。中心における外角は隣り合わない二つの内角の和に等しいので、$\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle OCA$ となる。$\triangle OBC$ にも全く同じ二等辺三角形の議論を適用すると $\angle BOD = 2\angle OCB$ が得られる。

ステップ3（二つの半分を合わせてタレスの定理を導く）。二つの中心角を足し合わせる（中心が円周角の外部にあるときは引く）と、$\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB$ が得られる。弦が直径である特別な場合には中心角が平角（$\angle AOB = 180^\circ$）となるため、直ちにタレスの半円定理 $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ が従う。