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9年生

円

中心から一定距離にある点の集合である円と、その接線・弦・内接角。

直観一つの中心、一定の半径、そして一定の角の驚き

長さ R>0R > 0 のピンと張った糸の一端を定点 OO に留め、もう一端を平面上でぐるりと回してみよう。描かれる曲線が円 (O,R)(O, R) であり、平面幾何学で最も対称性の高い図形である。円上の二点を結ぶ線分はすべて弦 ABAB と呼ばれ、円とただ一点だけで触れ合う直線は接線と呼ばれる。この単純な定義の奥には驚くべき幾何学的性質が隠れている：優弧上の任意の点 CC に立って弦を見込むとき、その見込む角（円周角）は常に中心角 ∠AOB\angle AOB のちょうど半分、すなわち ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB となり、その弧上のどこへ移動しても変わらないのだ！特に弦が直径（中心角 180∘180^\circ）のとき、タレスの定理により半円上のどこでも直角 ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ が保証される。下のインタラクティブな単位円を使って、中心の周りで点を回転させると中心角と座標がどう変化するか確かめてみよう。

円周上の点、半径、および中心角を示すインタラクティブな単位円。
中心 OO の周りを中心角 θ\theta で単位円上を回転する点と、その座標 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)。

中高弦・接線・円周角・方べきの定理

定義: 円・弦・接線・円周角

円 (O,R)(O, R) とは、中心からの距離が OM=ROM = R を満たす平面上のすべての点の集合である。中心を通り弦に垂直な直線はその弦を二等分し（OM⊥AB  ⟺  MA=MBOM \perp AB \iff MA = MB）、接点における接線は半径に垂直である（OT⊥dOT \perp d）。また、同じ弧に対する任意の円周角 ∠ACB\angle ACB は中心角 ∠AOB\angle AOB の半分に等しい：

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

弦が直径であるとき中心角は ∠AOB=180∘\angle AOB = 180^\circ となるため、タレスの半円定理により半円上のすべての点で ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ が成り立つ。さらに、点 PP（円の内部または外部）を通る二直線が弦 ABAB と CDCD に沿って円と交わるとき、交点からの線分の長さの積は常に一定となる（方べきの定理）：

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD
円の幾何学の基本定理
配置幾何学的条件主な関係式
中心から弦 ABAB への垂線弦上の垂線の足 MMOM⊥AB  ⟺  MA=MBOM \perp AB \iff MA = MB, R2=OM2+MA2R^2 = OM^2 + MA^2
外部の点 PP から引いた接線円上の接点 T1,T2T_1, T_2OT1⊥PT1OT_1 \perp PT_1 かつ PT1=PT2PT_1 = PT_2
弧 ABAB に対する円周角円上の頂点 CC、中心 OO∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB
直径 ABAB 上のタレスの半円AB=2RAB = 2R が中心 OO を通る∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ
点 PP の方べき二直線 PABPAB と PCDPCD が円と交わるPA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD

大学二つの重要定理とその証明

定理: 円周角の定理とタレスの半円の系

円 (O,R)(O, R) 上の任意の三点について、円周角は同じ弧に対する中心角の半分に等しい：∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB。特に、弦 ABAB が直径であるとき、それに対するすべての円周角は直角（∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ）である。

なぜ正しいのか?

円のすべての半径はまったく同じ長さをもつため、中心と三つの頂点を結ぶと図形は二等辺三角形に分割される。それらの二等辺三角形に外角の定理を適用すれば、円周角のそれぞれの半分が直ちに二倍されて中心角の対応する部分になる。

証明

ステップ1（頂点から直径を引き二等辺三角形を用いる）。頂点と中心を通る直径 CDCD を引く。二本の半径の長さは等しく OA=OC=ROA = OC = R であるから、三角形 △OAC\triangle OAC は中心を頂角とする二等辺三角形であり、その底角は等しい：∠OCA=∠OAC\angle OCA = \angle OAC。

ステップ2（両方の半分に外角の定理を適用する）。中心における外角は隣り合わない二つの内角の和に等しいので、∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle OCA となる。△OBC\triangle OBC にも全く同じ二等辺三角形の議論を適用すると ∠BOD=2∠OCB\angle BOD = 2\angle OCB が得られる。

ステップ3（二つの半分を合わせてタレスの定理を導く）。二つの中心角を足し合わせる（中心が円周角の外部にあるときは引く）と、∠AOB=∠AOD+∠BOD=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB が得られる。弦が直径である特別な場合には中心角が平角（∠AOB=180∘\angle AOB = 180^\circ）となるため、直ちにタレスの半円定理 ∠ACB=12⋅180∘=90∘\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ が従う。

定理: 方べきの定理（交わる弦と割線）

点 PP を通る二直線が弦 ABAB と CDCD の端点で円と交わるならば、その点からの線分の長さの積は等しい：PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。さらに点が円の外部にあり円への接線分を引くとき、その長さの二乗は PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB を満たす。

なぜ正しいのか?

円は曲がっているにもかかわらず、円周角の定理によって交わる弦が作る二つの三角形の角が等しく固定され、二つの三角形は相似になる。その辺の長さの比例式をたすき掛けの積に書き換えることで、長さの比が不変な積へと変わる。

証明

ステップ1（弦の端点を用いて二つの三角形を作る）。端点を線分 ACAC と BDBD で結び、二つの三角形 △PAC\triangle PAC と △PDB\triangle PDB を作る。

ステップ2（円周角を用いて二つの三角形の相似を証明する）。同じ弧に対する円周角は等しいので、∠CAP=∠BDP\angle CAP = \angle BDP が成り立つ。さらに交点における角も（点が円内にあるときは対頂角として、円外にあるときは共通の角として）等しい：∠APC=∠DPB\angle APC = \angle DPB。二角相等（AA相似条件）により、△PAC∼△PDB\triangle PAC \sim \triangle PDB となる。

ステップ3（対応する辺の比をとりたすき掛けにする）。二つの三角形の相似から辺の比 PAPD=PCPB\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB} が得られる。両辺の分母を払って掛け合わせれば PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD が従う。

大学実世界での応用と具体例

円の幾何学は土木工学、航海術、光学、天文学の根幹を支えている。考古学者や機械技師は、壊れた車輪やパイプ、陶器の皿の破片一つから元の半径を復元するとき、弦とその垂直二等分線 OM⊥ABOM \perp AB および三平方の関係式 R2=OM2+MA2R^2 = OM^2 + MA^2 を用いる。GPS の登場以前、沿岸の航海士は円周角の定理 ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB を使って二つの灯台を見込む角が一定となる安全な円周上に船を保ち（また暗礁の周りの危険円に入ったかどうかをタレスの半円 ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ で判定し）ていた。さらに球形の地球上や衛星通信では、接線と割線の方べきの公式 PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB によって、一定の高度にある沿岸の塔や宇宙船から見渡せる地平線までの正確な距離が求められる。

例: 円形パイプ内の水面の幅を求める

半径 R=10R = 10 cm の円形断面 (O,R)(O, R) をもつ水道管の中で、平らな水面が中心からの垂直距離 OM=6OM = 6 cm の水平な弦 ABAB を作っている。水面の正確な幅を求めよ。

解答

ステップ1：中心からの垂線を用いて弦を二等分する。中心からの線分が弦と直角に交わる（OM⊥ABOM \perp AB）ため、その足は弦の中点となり、MA=MBMA = MB が成り立つ。

ステップ2：直角三角形 △OMA\triangle OMA に三平方の定理を適用する。斜辺が半径、一辺が中心までの距離であるから、弦の半分は MA2=R2−OM2=102−62=100−36=64MA^2 = R^2 - OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 を満たす。

ステップ3：弦の半分を二倍して全体の幅を求める。平方根をとると MA=64=8MA = \sqrt{64} = 8 cm となり、したがって水面の全体の幅は AB=2⋅MA=2⋅8=16AB = 2 \cdot MA = 2 \cdot 8 = 16 cm である。

例: 交わる弦の定理を使って遊歩道の残りの区間の長さを求める

円形の広場の内部で、二本のまっすぐなレンガ敷きの遊歩道が弦 ABAB と CDCD をなし、点 PP で交差している。測量技師が測ったところ PA=4PA = 4 m、PB=9PB = 9 m、PC=6PC = 6 m であった。残りの遊歩道の区間 PDPD の長さを求めよ。

解答

ステップ1：交わる弦の方程式を書く。円の内部で交差する二本の弦に対する方べきの定理より、各線分の長さは PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD を満たす。

Step 2：既知の三つの長さを代入する。与えられた値を方程式に代入すると 4⋅9=6⋅PD4 \cdot 9 = 6 \cdot PD となり、整理すると 36=6⋅PD36 = 6 \cdot PD となる。

ステップ3：未知の線分について解く。両辺を係数で割ると PD=366=6PD = \dfrac{36}{6} = 6 m が得られる。

中心 OO の円上に三点 AA、BB、CC がある。弧 ABAB に対する中心角が ∠AOB=110∘\angle AOB = 110^\circ であるとき、同じ弧に対する円周角 ∠ACB\angle ACB の大きさはいくらか？

半径 R=13R = 13 cm の円において、弦の長さが AB=24AB = 24 cm である。中心 OO からこの弦までの垂直距離 OMOM はいくらか？

線分 ABAB を円の直径とし、CC を ∠CAB=35∘\angle CAB = 35^\circ を満たす円周上の点とする。∠ABC\angle ABC の大きさはいくらか？

円外の点 PP から円へ長さ PT=6PT = 6 cm の接線 PTPT と割線 PABPAB を引き、PA=4PA = 4 cm とする。PP から遠い方の交点までの距離 PBPB はいくらか？

参考文献

  1. Euclid (trans. Thomas L. Heath) (1956). Euclid's Elements (Books I–XIII)
  2. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited