方べきの定理（交わる弦と割線）

ステップ1（弦の端点を用いて二つの三角形を作る）。端点を線分 $AC$ と $BD$ で結び、二つの三角形 $\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ を作る。

ステップ2（円周角を用いて二つの三角形の相似を証明する）。同じ弧に対する円周角は等しいので、$\angle CAP = \angle BDP$ が成り立つ。さらに交点における角も（点が円内にあるときは対頂角として、円外にあるときは共通の角として）等しい：$\angle APC = \angle DPB$。二角相等（AA相似条件）により、$\triangle PAC \sim \triangle PDB$ となる。

ステップ3（対応する辺の比をとりたすき掛けにする）。二つの三角形の相似から辺の比 $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}$ が得られる。両辺の分母を払って掛け合わせれば $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が従う。