ヒルベルト作用とビアンキ恒等式からのアインシュタイン方程式

ステップ1（重力部分の被積分関数の変分を分解する）。 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ と書く。積の微分法則より、$$\delta\big((R-2\Lambda)\sqrt{-g}\big) = R_{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}(\delta R_{\mu\nu})\sqrt{-g} + (R-2\Lambda)\,\delta\sqrt{-g}.$$

**ステップ2（$\delta\sqrt{-g}$ に対するヤコビの公式とパラティーニ恒等式）。** ヤコビの恒等式 $\delta(\det g)=(\det g)\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-(\det g)\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$ を用いると、$\delta\sqrt{-g}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$ が得られる。一方、パラティーニ恒等式によりリッチ変分は共変発散 $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\alpha\big(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\alpha_{\mu\nu}-g^{\alpha\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}\big)$ と表され、境界から離れた台を持つ変分 $\delta g^{\mu\nu}$ に対してはストークスの定理により $M$ 上での積分がゼロになる。

**ステップ3（$\delta S=0$ をまとめる）。** ステップ1、2と定義 $T_{\mu\nu}\equiv-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}$ を合わせると、$$\delta S = \int_M \left[\frac{c^4}{16\pi G}\left(R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right) - \frac12 T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,d^4x = 0.$$ $\delta g^{\mu\nu}$ は任意の対称テンソル変分なので、括弧内は各点でゼロでなければならず、$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ が得られる。

ステップ4（縮約ビアンキ恒等式と保存則）。 第2ビアンキ恒等式 $\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}+\nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}=0$ を $g^{\lambda\mu}g^{\rho\nu}$ で2回縮約すると、$\nabla^\mu R_{\mu\nu}-\tfrac12\nabla_\nu R=0$、すなわち $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}$ に対する $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ が得られる。$\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$（計量適合性）なので、$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ に $\nabla^\mu$ を作用させると $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$ が従う。