ローレンツ幾何学

ユークリッド幾何学では横にずれると長さに $+dx^2$ が足されるため直線が最短経路となるが、ミンコフスキー時空では空間変位が $-c^2dt^2$ と逆符号で入るため、空間的な回り道はすべて $-ds^2$ から差し引かれ、したがって $\sqrt{-ds^2}/c$ の積分を縮める。これこそが双子のパラドックスの解決のすべてである：慣性系にとどまる双子は時空内のまっすぐな世界線をたどるため最も多く年を取り、飛び立って戻ってくる双子は折れ曲がった世界線をたどるため年を取る量が少ない。

**ステップ1（$\gamma_0$ に合わせた慣性系を選ぶ）。** $\gamma_0$ はまっすぐな時間的直線なので、$\gamma_0$ が空間原点に静止するような慣性座標系 $(t,x,y,z)$ を選ぶことができる：$p=(0,\mathbf 0)$、$q=(T,\mathbf 0)$（$T>0$）であり、$t\in[0,T]$ に対して $\gamma_0(t)=(t,\mathbf 0)$。計量 $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ はローレンツ変換のもとで不変なので、任意の曲線の固有時はすべての慣性系で同じ値を持つ。

**ステップ2（$\tau(\gamma_0)$ を計算する）。** $\gamma_0$ に沿っては空間速度が $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ なので、$$\tau(\gamma_0) = \int_0^T \sqrt{1 - 0/c^2}\,dt = T.$$

**ステップ3（比較する曲線 $\gamma$ をパラメータ表示する）。** $p$ から $q$ への任意の未来向き時間的曲線 $\gamma$ は至る所で $dt/d\lambda > 0$ を満たすので（$c^2 dt^2 > |d\mathbf x|^2 \ge 0$ のため）、座標時 $t\in[0,T]$ によって $\gamma(t)=(t,\mathbf x(t))$（$\mathbf x(0)=\mathbf x(T)=\mathbf 0$）とパラメータ表示でき、速度 $\mathbf v(t)=d\mathbf x/dt$ は $|\mathbf v(t)|<c$ を満たす。経過する固有時は $[0,T]$ 上での $\tau = \int \sqrt{1 - v(t)^2/c^2}\,dt$ である。

ステップ4（各点での評価と等号条件）。 すべての $t\in[0,T]$ で $|\mathbf v(t)|^2\ge0$ より $0 < \sqrt{1 - |\mathbf v(t)|^2/c^2} \le 1$ であり、ある $t$ で等号が成り立つのは $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ のとき、かつそのときに限る。$[0,T]$ 上で積分すると、$$\tau(\gamma) = \int_0^T \sqrt{1 - \frac{|\mathbf v(t)|^2}{c^2}}\,dt \le \int_0^T 1\,dt = T = \tau(\gamma_0).$$ 被積分関数は連続かつ $\le 1$ なので、等号 $\tau(\gamma)=T$ が成り立つのはすべての $t\in[0,T]$ で $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ のときに限られ、$\mathbf x(0)=\mathbf 0$ と合わせると $\mathbf x(t)\equiv\mathbf 0$、すなわち $\gamma=\gamma_0$ が従う。

オイラー・ラグランジュ方程式が作用の停留を粒子軌道の微分方程式に変えるのと同じように、時空上で積分したスカラー曲率を変分すると、作用の停留が計量そのものに対する偏微分方程式になる。$-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}$ という項は体積因子 $\sqrt{-g}$ の変分からまさに生じるものであり、縮約ビアンキ恒等式を通じて曲率側の発散をゼロにするのにちょうど必要な項となっている——これが物質側のエネルギー・運動量保存と整合する。

ステップ1（重力部分の被積分関数の変分を分解する）。 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ と書く。積の微分法則より、$$\delta\big((R-2\Lambda)\sqrt{-g}\big) = R_{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}(\delta R_{\mu\nu})\sqrt{-g} + (R-2\Lambda)\,\delta\sqrt{-g}.$$

**ステップ2（$\delta\sqrt{-g}$ に対するヤコビの公式とパラティーニ恒等式）。** ヤコビの恒等式 $\delta(\det g)=(\det g)\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-(\det g)\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$ を用いると、$\delta\sqrt{-g}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$ が得られる。一方、パラティーニ恒等式によりリッチ変分は共変発散 $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\alpha\big(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\alpha_{\mu\nu}-g^{\alpha\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}\big)$ と表され、境界から離れた台を持つ変分 $\delta g^{\mu\nu}$ に対してはストークスの定理により $M$ 上での積分がゼロになる。

**ステップ3（$\delta S=0$ をまとめる）。** ステップ1、2と定義 $T_{\mu\nu}\equiv-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}$ を合わせると、$$\delta S = \int_M \left[\frac{c^4}{16\pi G}\left(R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right) - \frac12 T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,d^4x = 0.$$ $\delta g^{\mu\nu}$ は任意の対称テンソル変分なので、括弧内は各点でゼロでなければならず、$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ が得られる。

ステップ4（縮約ビアンキ恒等式と保存則）。 第2ビアンキ恒等式 $\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}+\nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}=0$ を $g^{\lambda\mu}g^{\rho\nu}$ で2回縮約すると、$\nabla^\mu R_{\mu\nu}-\tfrac12\nabla_\nu R=0$、すなわち $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}$ に対する $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ が得られる。$\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$（計量適合性）なので、$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ に $\nabla^\mu$ を作用させると $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$ が従う。