アインシュタインの光の湾曲公式

ステップ1（光の軌道方程式）。 赤道面に限られたヌル測地線について、光子球で使ったのと同じ保存量 $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ と $L=r^2\dot\phi$ を $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ に代入し、$\tau$ による微分を $u\equiv1/r$ の $\phi$ による微分に変換すると（$\dot r = -L\,du/d\phi$ を用いる）、もう一度微分した後、標準的な光の湾曲軌道方程式 $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$ が得られる。

ステップ2（ゼロ次: 直線）。 右辺を落とすと（$r_s=0$、平坦時空とおく）$u_0''+u_0=0$ となり、$\phi=\pi/2$ で最近距離 $b$ を通る解は直線 $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$ である — これは極形式で表した曲げられていない経路である。

ステップ3（1次摂動）。 $u=u_0+r_s u_1$ と書いてステップ1の方程式に代入し、$r_s$ について1次の項のみを残すと、$u_0''+u_0=0$ の部分は打ち消し、$u_1$ に対する強制線形振動子が残る: $$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ 最近接点の両側で対称な湾曲という期待に合う特解は $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ であり、したがって1次までの完全な軌道は $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ である。

ステップ4（全湾曲角を取り出す）。 平坦空間では $u\to0$ はちょうど $\phi=0$ と $\phi=\pi$ で起こる; $r_s$ の補正があると、$u\to0$ は小さな $\delta_1,\delta_2$ に対して $\phi=-\delta_1$ と $\phi=\pi+\delta_2$ で起こる。$u(-\delta_1)=0$ を $\delta_1$ と $r_s$ について1次まで展開すると $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$ となり $\delta_1=r_s/b$; もう一方の端でも同じ計算で $\delta_2=r_s/b$ となる。出ていく漸近線が入ってくる漸近線と正反対にならない全角度は $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$ であり、$r_s=2GM/c^2$ を戻すと主張の公式になる。