ブラックホールの幾何学

動径方向の運動を1次元のポテンシャル井戸 $V_{\text{eff}}(r)$ を転がるボールと考えよう: 円軌道は井戸が平らな場所（$dV_{\text{eff}}/dr=0$）にあり、井戸が下向きではなく上向きに湾曲する場所（$d^2V_{\text{eff}}/dr^2>0$）でのみ安定である。相対論的ポテンシャルにはニュートン重力にはない余分な $1/r^3$ の項があるため、井戸はブラックホールの近くで極大を持つようになる — その半径の内側では、粒子がどれほど速く回っていようと安定な円軌道はまったく存在せず、物質はただ落ち込んでいく。

ステップ1（保存量と動径方程式）。 赤道面 $\theta=\pi/2$ に限られた任意の測地線（時間的 $\kappa=-c^2$、またはヌル $\kappa=0$）に沿って、計量が $t$ と $\phi$ に依存しないことから2つの保存量 $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ と $\tilde L = r^2\dot\phi$ が得られる（ドット $=d/d\tau$）。これらを規格化条件 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ に代入して整理すると、時間的運動については $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

ステップ2（円軌道条件）。 展開すると $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ 円軌道は $r$ が一定、すなわち常に $dr/d\tau=0$ であり、これには $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ と（$r$ がずれていかないように）$dV^2_{\text{eff}}/dr=0$ の両方が必要である: $$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

ステップ3（円軌道の角運動量を解く）。 $r^4$ を掛けて $\tilde L^2$ について解くと、半径 $r$ の円軌道を維持するのに必要な角運動量が得られる: $$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ これはすでに光子球についての情報を含んでいる: $r\to (3/2)r_s$ に上から近づくと分母 $2r-3r_s\to0^+$ となり $\tilde L^2\to+\infty$ となる — これほど近くで円軌道を維持できる有限の角運動量は存在せず、これはまさに以下で到達する質量ゼロ（光子）極限である。

ステップ4（限界安定性 — ISCO）。 $r$ を無限遠から減らしていくと、$\tilde L^2(r)$ はまず減少し、極小に達し、その後 $r=3r_s/2$ で発散する; 円軌道が安定なのはまさに $r$ をさらに縮めるのに $\tilde L^2$ の増加が必要な場所である（すなわち $d\tilde L^2/dr$ の符号が安定性を決める）。ステップ3の結果を微分すると、$$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ これは $r=0$（除外）、$r=3r_s$ で消え、$r>3r_s/2$ の範囲では他に消える点はない。この唯一の内部の根が限界安定半径である: $$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ $r>3r_s$ では軌道は安定であり（$d\tilde L^2/dr>0$、ケプラーと同様、$r$ が大きいほどより大きな角運動量が必要）、$3r_s/2<r<3r_s$ では不安定である。

ステップ5（ヌル測地線からの光子球）。 ヌル測地線については、$\kappa=0$ とした同じ代入から代わりに $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$ が得られ、$$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$ である。括弧内の導関数をゼロとおくと、$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ により円光子軌道の唯一の半径が直接得られ、$$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$ ステップ3で見つけた極限と一致する。そこでは括弧 $1/r^2-r_s/r^3$ が極小ではなく局所的極大を持つため不安定である — 内側へのわずかなずれは光子を地平面へ渦巻き落とし、外側へのわずかなずれは無限遠へ脱出させる。

ニュートン重力は、高速で動く粒子に働く力として扱うと、ある程度の湾曲を予測するが、それは時間の曲率（質量近くでは時計が遅れる）しか考慮していない。一般相対性理論はこれに空間の曲率（質量近くでは物差しが動径方向に縮む）からの等しい寄与を加え、2つの効果が加算されて湾曲は2倍になる — この数値係数こそが、1919年の日食観測隊がアインシュタインの理論とニュートンの理論を区別できた理由である。

ステップ1（光の軌道方程式）。 赤道面に限られたヌル測地線について、光子球で使ったのと同じ保存量 $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ と $L=r^2\dot\phi$ を $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ に代入し、$\tau$ による微分を $u\equiv1/r$ の $\phi$ による微分に変換すると（$\dot r = -L\,du/d\phi$ を用いる）、もう一度微分した後、標準的な光の湾曲軌道方程式 $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$ が得られる。

ステップ2（ゼロ次: 直線）。 右辺を落とすと（$r_s=0$、平坦時空とおく）$u_0''+u_0=0$ となり、$\phi=\pi/2$ で最近距離 $b$ を通る解は直線 $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$ である — これは極形式で表した曲げられていない経路である。

ステップ3（1次摂動）。 $u=u_0+r_s u_1$ と書いてステップ1の方程式に代入し、$r_s$ について1次の項のみを残すと、$u_0''+u_0=0$ の部分は打ち消し、$u_1$ に対する強制線形振動子が残る: $$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ 最近接点の両側で対称な湾曲という期待に合う特解は $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ であり、したがって1次までの完全な軌道は $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$ である。

ステップ4（全湾曲角を取り出す）。 平坦空間では $u\to0$ はちょうど $\phi=0$ と $\phi=\pi$ で起こる; $r_s$ の補正があると、$u\to0$ は小さな $\delta_1,\delta_2$ に対して $\phi=-\delta_1$ と $\phi=\pi+\delta_2$ で起こる。$u(-\delta_1)=0$ を $\delta_1$ と $r_s$ について1次まで展開すると $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$ となり $\delta_1=r_s/b$; もう一方の端でも同じ計算で $\delta_2=r_s/b$ となる。出ていく漸近線が入ってくる漸近線と正反対にならない全角度は $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$ であり、$r_s=2GM/c^2$ を戻すと主張の公式になる。

一般相対性理論において、重力は常に光を発散させるのではなく収束させる（これがエネルギー条件の意味するところである）; ある閉じた面ですでに両側から収束している光線束は収束し続け、幾何学的に収束する光線は交差しなければならない — しかし、大域的双曲的で性質の良い時空の内部で2本の光線が交差する（共役点）ことは、その光線の存在に境界を作らずには意味をなさない。この定理は、この収束の直観をラヤチャウドゥリ方程式という厳密な不等式と大域的な位相障害に変換する。

ステップ1（記号で表した捕捉面）。 $S$ を閉じた空間的な2次元面とし、$\theta$ を $S$ から直交して出発するヌル測地線束の展開、すなわち束の断面積が増加する割合の比率とする。どんな質量からも遠く離れた場所では、外向きの束は展開し（$\theta_{\text{out}}>0$）、内向きの束は収縮する（$\theta_{\text{in}}<0$）。代わりに $S$ 全体で $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$ であるとき、$S$ は捕捉されているという: 外向きの光でさえ内側へ引きずり込まれている。

ステップ2（ラヤチャウドゥリ方程式）。 展開の定義 $\theta=\nabla_a k^a$ を、接ベクトル $k^a$ を持つヌル合同族に沿って微分し、リーマンテンソルの定義を用いて微分を交換すると、厳密な運動学的恒等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$ が得られる。ここで $\sigma_{ab}$ は合同族のシア・テンソルである。この方程式は純粋に幾何学的である — いかなる物理を仮定する前に、曲率の定義から従う、光線族がどう曲がらねばならないかについての言明である。

ステップ3（エネルギー条件がさらなる収束を強いる）。 物理的に妥当な物質はヌルエネルギー条件 $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$ を満たし、シア項 $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ は常に成り立つ（平方和だから）; ステップ2の恒等式の右辺からこの2つの非負項を落とすと不等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$ が得られる。

ステップ4（リッカチ不等式が有限時間での発散を強いる）。 捕捉面上では $\lambda=0$ で $\theta_0<0$ である。$\theta$ が負のままである限り、不等式を $\theta^2>0$ で割って整理すると $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ となる。右辺は $\lambda$ の増加とともに無限に大きくなる一方、$1/\theta$（負）はこの下限を満たさねばならないため、$1/\theta$ は $0^-$ へと押し上げられる、すなわち有限のアフィンパラメータ $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$ で $\theta\to-\infty$ となる: $S$ に直交するヌル合同族は有限のアフィン時間内に共役点（近傍の光線が交差する火面）を発展させなければならない。

ステップ5（局所的収束から大域的不完備性へ）。 因果構造理論の標準的な結果（ここでは用いるが再導出はしない）により、大域的双曲時空内のヌル測地線は共役点を過ぎてから因果的境界性（ある集合の未来の境界にとどまること）を保てないことが示される。非コンパクトなコーシー面と組み合わせると、これは測地線がループして戻ることや通常の形で終わることを排除し、$S$ に直交する少なくとも1本のヌル測地線が未来不完備であることを強いる: それは任意に大きなアフィンパラメータまで延長できない。定義により、この不完備性こそがペンローズの言う特異点であり、対称性の仮定なしに、捕捉面が形成されるときには必ず起こることをこの定理は示している。