非特異性の判別式基準

点 $(x_0,y_0)$ が特異点であるのは、$F=y^2-x^3-ax-b=0$、$\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$、$\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$ がすべて同時に成り立つときに限る。2番目の式は $y_0=0$ を強制するので、$x_0$ は $x^3+ax+b$ の根でなければならない。3番目の式は $3x_0^2+a=0$ を強制する、すなわち $x_0$ は導関数 $3x^2+a$ の根でもある。多項式とその導関数が共通の根を持つのはその多項式の重根においてのみであるから、$E$ が特異であるのは $x^3+ax+b$ が重根を持つときに限る。既約三次式 $x^3+ax+b$ の古典的な判別式は $-4a^3-27b^2$ であり、三次式が重根を持つときにちょうど零になる。正規化定数 $-16$ を掛けると $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$ となるので、$E$ が非特異であるのは $\Delta \neq 0$ のときに限る。