楕円曲線

三次式が重根を持つ点 $(x_0, 0)$ はまさに曲線が尖点へと締まったり自己交差したりする場所であり、そこでは接線の方向が定まらなくなる——これはまさに弦と接線による群構造を壊してしまう幾何学的な欠陥である。

点 $(x_0,y_0)$ が特異点であるのは、$F=y^2-x^3-ax-b=0$、$\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$、$\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$ がすべて同時に成り立つときに限る。2番目の式は $y_0=0$ を強制するので、$x_0$ は $x^3+ax+b$ の根でなければならない。3番目の式は $3x_0^2+a=0$ を強制する、すなわち $x_0$ は導関数 $3x^2+a$ の根でもある。多項式とその導関数が共通の根を持つのはその多項式の重根においてのみであるから、$E$ が特異であるのは $x^3+ax+b$ が重根を持つときに限る。既約三次式 $x^3+ax+b$ の古典的な判別式は $-4a^3-27b^2$ であり、三次式が重根を持つときにちょうど零になる。正規化定数 $-16$ を掛けると $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$ となるので、$E$ が非特異であるのは $\Delta \neq 0$ のときに限る。

量 $a_p := p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ は、ランダムな三次式ならおよそ $p$ 個の解に無限遠点を加えた個数を持つはずだという素朴な予想からの「誤差項」を測る。ハッセの定理は、この誤差が決して $2\sqrt{p}$ 程度を超えないと述べており、これはサイズ $p$ という自明な限界に比べて驚くほど小さい偏差であり、まさにこれによって $\#E(\mathbb{F}_p)$ が暗号構成において信頼でき予測可能な群位数として使えるようになる。

フロベニウス自己準同型 $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$、$\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$ を考える。その不動点はちょうど $E(\mathbb{F}_p)$ であり、$\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$ が成り立つことが示せる。ここで $t = \varphi + \hat\varphi$ は自己準同型環に作用するフロベニウスのトレースである。$E$ の自己準同型上の次数写像は正定値な整数値二次形式であり($m\varphi+n=0$ のとき以外は等号なしですべての整数 $m,n$ について $\deg(m\varphi+n) \ge 0$ を満たす)、$\deg\varphi = p$ である。$\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ を $m,n$ の二次形式として展開すると、その判別式が非正であることが強制される:$t^2 - 4p \le 0$、すなわち $|t|\le 2\sqrt p$。$\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$ であるから、これはまさに主張された限界である。

この定理は群構造がもたらす数論的な成果である:有理点の集合がどれほど複雑に見えても、それは常に有限個の「種」となる点——有限生成系——によって支配されており、そこから弦と接線による加法を繰り返すことで他のすべての有理点に到達できるということを意味する。

証明は2つの要素を組み合わせる。弱モーデル・ヴェイユ:$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ が有限群であることを、それを(ガロアコホモロジーを用い、三次式の根 $e_i$ に対する $2$-降下写像 $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$ によって)関連する数体のイデアル類群と単数群から構成される群へ埋め込むことで示す。これらはどちらも有限であることが知られている。高さによる降下:各点に、$\hat h(2P) = 4\hat h(P)$ を満たし、任意の与えられた限界より低い高さを持つ点が有限個しかない実数値の算術的複雑さの尺度である標準高さ $\hat h(P) \ge 0$ を付与する。$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ の有限個の剰余類代表元と、(高さの平行四辺形則により)任意の点の高さを繰り返し半分にすると最終的に有界な高さの領域に入るという事実を組み合わせると、すべての点が有限個の代表元と有限個の有界高さの点の $\mathbb{Z}$ 結合であることが示され——したがって $E(\mathbb{Q})$ は有限生成である。

これは驚くべき硬直性の主張である:抽象的に可能な有限アーベル群は無数にあるにもかかわらず、有理楕円曲線の捩れとして実際に現れるのはこの $15$ 個だけである——たとえば位数 $11$ や $16$ の捩れ部分群は単純に不可能である。

マズールによる1977年の証明は、$E$ 上に位数がちょうど $N$ の有理点が存在することを、$P$ が位数 $N$ を持つ組 $(E, P)$ を分類するモジュラー曲線 $X_1(N)$ 上に非カスプ有理点が存在することへと翻訳する。この戦略は、関連するモジュラー曲線 $X_0(N)$ のヤコビ多様体 $J_0(N)$ と、それに作用するアイゼンシュタインイデアル $\mathcal{I}$(素数 $\ell \nmid N$ に対する $T_\ell - \ell - 1$ で生成されるヘッケ代数のイデアル)を研究する。$J_0(N)$ のアイゼンシュタイン商とその補助素数を法とした還元を解析することで、マズールは許容リストの外の $N$ については $X_1(N)(\mathbb{Q})$ がカスプのみからなることを示し、したがって $\mathbb{Q}$ 上のいかなる楕円曲線もその正確な位数の有理点を持ちえないことを証明した。明示的な構成(例えば曲線 $y^2=x^3+ax$ や $y^2=x^3+b$ を用いる)により、許容される $15$ 個の群それぞれを実現する例が示される。

モジュラリティは、あらゆる楕円曲線を仮装したモジュラー形式へと変え、モジュラー形式に利用可能な強力な解析的手法(解析接続、関数等式)を楕円曲線へと引き渡す。そして——フェルマーの最終定理にとって決定的に重要なことに——モジュラーであり得ない曲線は存在し得ないことを意味する。

ワイルズは1994〜95年に $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線についてモジュラリティを証明した(最後のステップである、変形環とヘッケ代数の間の同型に関する数値的判定条件——「$R=T$ 定理」——はリチャード・テイラーとの共同研究で確立された)。この戦略では、$E$ の $\ell$-進テイト加群上のガロア表現と、候補となるモジュラー形式に付随する対応する表現が、同じ変形空間に属することを示す。変形環 $R$ とモジュラー形式に作用するヘッケ代数 $T$ が一致することを証明すれば、許容されるすべてのガロア表現——特に $E$ のもの——がモジュラー形式に由来することが強制される。半安定な曲線さえあればフェルマー方程式の反例を排除するのに十分であるため(解 $a^n+b^n=c^n$ があれば半安定なフライ曲線 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ が生じ、これはケネス・リベットが1990年の $\varepsilon$-予想の証明によってモジュラーになりえないことを示していた)、これによりフェルマーの最終定理が証明された。半安定性の制約はその後完全に取り除かれ、モジュラリティは2001年にクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによって $\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線へと拡張された。