オイラー法の大域誤差評価

1ステップで生じる局所誤差を、テイラー展開で進めた厳密解とオイラー更新式との差として書く。テイラーの定理より、$t_n$と$t_{n+1}$の間のある$\xi_n$に対して$y(t_{n+1}) = y(t_n) + h f(t_n, y(t_n)) + \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$が成り立ち,局所打ち切り誤差は$\tau_n = \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$であり,仮定$|y''(t) | \le M$によって$\frac{h^2 M}{2}$で抑えられる。

この厳密なテイラー展開からオイラー更新式$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$を引く。$e_n = y(t_n) - y_n$とおくと,両辺の差は$e_{n+1} = e_n + h\left[f(t_n, y(t_n)) - f(t_n, y_n)\right] + \tau_n$となる。リプシッツ条件により角括弧内の項は$L|e_n|$で抑えられるので,$|e_{n+1}| \le (1+hL)|e_n| + \frac{h^2 M}{2}$となる。

$e_0 = 0$(初期値は厳密である)なので,この漸化式を帰納法で展開すると,等比級数の公式を用いて$|e_n| \le \frac{h^2M}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(1+hL)^k = \frac{hM}{2L}\left[(1+hL)^n - 1\right]$が得られる。最後に,任意の実数$x$について$1+x\le e^x$であるから$(1+hL)^n \le e^{Lhn} = e^{L(t_n-t_0)}$となり,これにより上界は$|e_n| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t_n-t_0)}-1\right)$となる——これはまさに主張された不等式であり,$t_n$を固定すれば明らかに$O(h)$である。