微分方程式の数値解法

各オイラーステップは、テイラー級数を1次の項で打ち切ることにより$O(h^2)$程度の小さな局所誤差を生じるが、固定された時刻$T$に到達するために必要なおよそ$(T-t_0)/h$ステップの間にこれらの局所誤差が積み重なる可能性がある。この定理は、その積み重なりが穏やかであることを示す。リプシッツ条件により小さな局所誤差が指数関数より速く増幅されることはなく、大域誤差は刻み幅に関して1次の$O(h)$に落ち着く。これは局所誤差より1次低く、1段階法に共通するパターンである。

1ステップで生じる局所誤差を、テイラー展開で進めた厳密解とオイラー更新式との差として書く。テイラーの定理より、$t_n$と$t_{n+1}$の間のある$\xi_n$に対して$y(t_{n+1}) = y(t_n) + h f(t_n, y(t_n)) + \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$が成り立ち,局所打ち切り誤差は$\tau_n = \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$であり,仮定$|y''(t) | \le M$によって$\frac{h^2 M}{2}$で抑えられる。

この厳密なテイラー展開からオイラー更新式$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$を引く。$e_n = y(t_n) - y_n$とおくと,両辺の差は$e_{n+1} = e_n + h\left[f(t_n, y(t_n)) - f(t_n, y_n)\right] + \tau_n$となる。リプシッツ条件により角括弧内の項は$L|e_n|$で抑えられるので,$|e_{n+1}| \le (1+hL)|e_n| + \frac{h^2 M}{2}$となる。

$e_0 = 0$(初期値は厳密である)なので,この漸化式を帰納法で展開すると,等比級数の公式を用いて$|e_n| \le \frac{h^2M}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(1+hL)^k = \frac{hM}{2L}\left[(1+hL)^n - 1\right]$が得られる。最後に,任意の実数$x$について$1+x\le e^x$であるから$(1+hL)^n \le e^{Lhn} = e^{L(t_n-t_0)}$となり,これにより上界は$|e_n| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t_n-t_0)}-1\right)$となる——これはまさに主張された不等式であり,$t_n$を固定すれば明らかに$O(h)$である。

RK4は、1回ではなく巧妙に選ばれた中間点で1ステップあたり4回傾きを評価し、重み$1,2,2,1$を$6$分の1として平均する。この追加の手間により、オイラー法に比べて精度が3次高くなる。すなわち、1次の項で止めるのではなく、真の解のテイラー展開に$h^4$の項まで一致させることができる。

各段を$(t_n, y_n)$のまわりでテイラー級数展開する。$k_1=f(t_n,y_n)=y'(t_n)$であり,$k_2, k_3$は前の段の方向に半ステップずらした$y_n$を用いて$f$を中点で評価するので,$y'=f$、$y''=f_t+f_yf$、$y'''=f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)$の連鎖律を各$k_i$に代入すると,各段が捉えられる次数まで$y'(t_n), y''(t_n), y'''(t_n)$に一致する$h$の4つの多項式が得られる。

重み付き結合$\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$を作り$h$を掛けると,この和における$h^1, h^2, h^3$と$h^4$の係数は,テイラー展開$y(t_n+h) = y(t_n) + hy'(t_n) + \frac{h^2}{2}y''(t_n) + \frac{h^3}{6}y'''(t_n) + \frac{h^4}{24}y^{(4)}(t_n) + \cdots$の$h^4$の項までの係数とちょうど一致する——これはまさに,RK4表の係数$c=(0,\frac12,\frac12,1)$と$b=(\frac16,\frac13,\frac13,\frac16)$が満たすように選ばれた古典的な次数条件そのものである。

2つの級数が$h^4$まで一致するので,両者が異なりうる最初の項は$O(h^5)$の項であり,したがって局所打ち切り誤差は1ステップあたり$O(h^5)$である。オイラーの場合と同様に,固定時刻に到達するために必要な$n\approx (T-t_0)/h$ステップにわたってこれらの局所誤差を$f$のリプシッツ条件を用いて積み重ねると,$h$のべきがちょうど1つ失われ,大域誤差は$O(h^4)$となる。