二項確率変数の期待値

$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ と書く。ここで $X_i$ は $i$ 番目の試行が成功すれば $1$、そうでなければ $0$ である。各 $X_i$ は $P(X_i=1)=p$、$P(X_i=0)=1-p$ のベルヌーイ確率変数であり、その期待値は $E[X_i] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$ となる。

期待値は、独立であるか否かにかかわらず、任意の確率変数に対して線形性を持つ:$E[X_1+X_2+\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$。この線形性は、期待値が重み付き和として定義されることから直接従う。和や重み付き和は常に並べ替えられるからである。

この線形性を $X = X_1+\cdots+X_n$ に適用すると $E[X] = E[X_1]+\cdots+E[X_n] = \underbrace{p+p+\cdots+p}_{n \text{ times}} = np$ となり、主張した公式と一致する。