確率変数と分布

二項の計数は多数の小さな「はい/いいえ」の試行の和にすぎず、和の期待値は試行同士がどう関わっていようと常に期待値の和に等しい。したがって一回の試行の平均的な寄与だけを求めればよい。

$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ と書く。ここで $X_i$ は $i$ 番目の試行が成功すれば $1$、そうでなければ $0$ である。各 $X_i$ は $P(X_i=1)=p$、$P(X_i=0)=1-p$ のベルヌーイ確率変数であり、その期待値は $E[X_i] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$ となる。

期待値は、独立であるか否かにかかわらず、任意の確率変数に対して線形性を持つ:$E[X_1+X_2+\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$。この線形性は、期待値が重み付き和として定義されることから直接従う。和や重み付き和は常に並べ替えられるからである。

この線形性を $X = X_1+\cdots+X_n$ に適用すると $E[X] = E[X_1]+\cdots+E[X_n] = \underbrace{p+p+\cdots+p}_{n \text{ times}} = np$ となり、主張した公式と一致する。

分散の定義には差の二乗が含まれており、直接計算するのは面倒である。その二乗を展開し期待値の線形性を使うことで、すでに計算方法を知っている二つの量、$E[X^2]$ と $E[X]$ に置き換えることができる。

定義により $\mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$($\mu = E[X]$)である。期待値の中の二乗を展開すると $(X-\mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$ となる。

期待値の線形性を各項に適用すると $E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2$ となる。$\mu$ は定数(結果に依存しない)なので、中間項と最後の項では期待値の外に出すことができる。

ここで $E[X] = \mu$ を代入し直すと、$E[X^2] - 2\mu\cdot\mu + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2$ となる。$\mu$ を $E[X]$ に置き換えれば、主張どおり $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ が得られる。