ファルティングスの定理(モーデル予想)

ステップ1(曲線からアーベル多様体へ)。$C$ にそのヤコビ多様体 $J$——次元 $g$ のアーベル多様体で、一つ有理点を固定すればアーベル・ヤコビ埋め込みにより $C$ を含む——を対応させる。$C$ の有理点は $J$ の有理点に対応し、パルシンの構成(1968年)は、$C$ 上に相異なる有理点が無限に存在するという仮定を、$\mathbb{Q}$ 上定義された次元 $g$ の互いに非同型なアーベル多様体が無限個存在し、それらすべてが $C$ のみに依存する固定された有限素数集合 $S$ の外で良い還元を持つ、という状況に変換する。

ステップ2(シャファレビッチの有限性予想)。シャファレビッチは、$g$ と有限集合 $S$ を固定したとき、$\mathbb{Q}$ 上の次元 $g$ の主偏極アーベル多様体で $S$ の外で良い還元を持つものの同型類は有限個しかないと予想した。ファルティングスはこれをアラケロフ理論を用いて証明する。そのようなアーベル多様体のモジュライ空間上に高さ関数(ファルティングス高さ)を構成し、この高さが同種写像のもとで制御された仕方で変化することを示し、$S$ の外で不分岐な数体の有限性と高さ理論・半安定還元の評価を用いてそれを有界にする。次元が固定されたモジュライ空間で高さが有界であることは有限性を強制する。

ステップ3(矛盾で議論を閉じる)。ステップ1は、$C$ に無限個の有理点があるという誤った仮定のもとで無限個の非同型なアーベル多様体を生み出した。ステップ2はそのようなアーベル多様体が有限個しか存在し得ないことを示す。この矛盾を避ける唯一の道は最初の仮定が誤りであることであり、したがって $C$ の有理点は有限個しかない:$|C(\mathbb{Q})| < \infty$。