数論幾何学

ステップ1(二次環での因数分解)。$y^2 = x^3 - 2$ を、一意分解整域(通常の整数と同様にユークリッドの互除法を持つ)である環 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ の中で $x^3 = y^2 + 2 = (y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})$ と書き直す。

ステップ2(二つの因数の互いに素性)。$y+\sqrt{-2}$ と $y-\sqrt{-2}$ の公約元 $\delta$ は、その差 $2\sqrt{-2} = -(\sqrt{-2})^3$ も割り切る。もし $\sqrt{-2}$ が両方の因数を割るなら、$2$ が $y^2+2 = x^3$ を割り切り、$x$ したがって $y$ も偶数になる。しかしそのとき $x^3$ は $8$ の倍数である一方 $y^2+2 \equiv 2 \pmod 4$ となり矛盾する。よって $y+\sqrt{-2}$ と $y-\sqrt{-2}$ は $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ で互いに素である。

ステップ3(各因数は三乗)。積が三乗 $x^3$ であり、$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ の単数は $\pm 1$(どちらもすでに三乗)なので、一意分解性から、ある整数 $u,v$ に対して $y+\sqrt{-2} = (u+v\sqrt{-2})^3$ となる。三乗を展開すると $y+\sqrt{-2} = (u^3-6uv^2) + (3u^2v - 2v^3)\sqrt{-2}$ を得る。

ステップ4(整数解を読み取る)。$\sqrt{-2}$ の係数を比較すると $1 = v(3u^2-2v^2)$ となる。$u,v$ は整数なので $v = \pm 1$ であり、$3u^2-2 = 1$ が解けるのは $v=1$ のときのみで $u = \pm 1$ を得る。元に戻すと $y = u^3 - 6uv^2 = \pm 5$ および $x = u^2+2v^2 = 3$ となり、$y^2 = x^3 - 2$ 上の整数点は $(x,y) = (3, \pm 5)$ のみである。(ただしここでも $E(\mathbb{Q})$ 自体は無限である。$(3,5)$ に弦と接線の演算を繰り返し適用すると、$(\tfrac{129}{100}, \pm\tfrac{383}{1000})$ のように分母が大きくなっていく有理点が無限に得られる。)

ステップ1($P$ が曲線上にあることを確かめ接線の傾きを求める)。$P=(3,6)$ を $y^2 = x^3 + 2x + 3 \pmod{97}$ に代入すると、左辺は $6^2 = 36$、右辺は $3^3 + 2\cdot 3 + 3 = 36$ となり、$P$ は曲線上にある。$y^2 = x^3+ax+b$ の陰関数微分により、$P=(x_1,y_1)$ における接線の傾きは $\lambda \equiv \frac{3x_1^2+a}{2y_1} \pmod{97}$ となる。$a=2$、$(x_1,y_1)=(3,6)$ のとき、分子は $3\cdot 9 + 2 = 29$、分母は $2\cdot 6 = 12$ である。

ステップ2($97$ を法として分母の逆元を求める)。$12\cdot 8 = 96 \equiv -1 \pmod{97}$ なので、$97$ を法とする $12$ の逆元は $-8 \equiv 89 \pmod{97}$ である。したがって $\lambda \equiv 29\cdot(-8) = -232 \equiv 59 \pmod{97}$ となる。

ステップ3(接線と曲線の交点を求め反転させる)。弦と接線の公式により、$2P$ の座標 $(x_3,y_3)$ は $x_3 \equiv \lambda^2 - 2x_1 \pmod{97}$ および $y_3 \equiv \lambda(x_1 - x_3) - y_1 \pmod{97}$ で与えられる。計算すると $x_3 \equiv 59^2 - 6 = 3475 = 35\cdot 97 + 80 \equiv 80 \pmod{97}$、そして $y_3 \equiv 59(3-80) - 6 = -4549 = -47\cdot 97 + 10 \equiv 10 \pmod{97}$ となり、$2P = (80,10)$ を得る。