フェルマーの内点極値定理と第2次導関数判定法

（必要性）$x_0$ が局所極大であるとする（局所極小の場合も同様）。ある $\delta>0$ が存在し、$|x-x_0|<\delta$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x)\le f(x_0)$ となる。$h\in(0,\delta)$ に対して $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$ であり、$h\to 0^+$ とすると $f'(x_0)\le 0$。$h\in(-\delta,0)$ に対しては分子が $\le 0$、分母が負なので $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$ であり、$h\to 0^-$ とすると $f'(x_0)\ge 0$。$f$ は $x_0$ で微分可能なので両側極限は一致し、$f'(x_0)=0$ が従う。

（十分性、$f''(x_0)>0$ の場合）$f'(x_0)=0$ であり $f''$ が $x_0$ の近くで存在するので、$f''$ を $f'$ の導関数とする定義から $x\to x_0$ のとき $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ となる。$f''(x_0)>0$ なので、この式は $x$ が $x_0$ よりわずかに小さいとき負、$x$ が $x_0$ よりわずかに大きいとき正である。

よって $f'$ は $x_0$ の前後で符号が $-$ から $+$ に変わる。単調性の定理により $f$ は $x_0$ のすぐ左で減少、すぐ右で増加しており、これはまさに $x_0$ における局所極小の定義である。

$f''(x_0)<0$ の場合はすべての不等号を逆にすれば同様であり、$f'$ が $+$ から $-$ に変わるので局所極大となる。$f''(x_0)=0$ のときは上の展開が $x_0$ 近傍での $f'$ の符号について何の情報も与えないため判定法は不能であり、$f'$ の符号を直接調べる必要がある（下の落とし穴で $f(x)=x^3$ を用いて示す）。