フェルマーの最終定理(一般の主張)

$n>2$ であるすべての整数は奇素数 $p\ge3$ で割り切れる($n=pk$)か、2 のべき乗で $n\ge4$、したがって4で割り切れる($n=4k$)。$x^n+y^n=z^n$ の解があれば、$X=x^k,Y=y^k,Z=z^k$ により $X^p+Y^p=Z^p$ または $X^4+Y^4=Z^4$ の解が得られる。よって全ての $n>2$ に対するFLTは $n=4$(証明済み)とすべての奇素数 $p\ge3$ の場合から従う。

オイラー(1770年)はフェルマーの降下法を拡張し $p=3$ を初等的に証明した。その後の一世紀でジェルマン、ルジャンドル、クンマーがますます大きな素数の族を証明した——クンマーの1850年代の研究はすべての「正則」素数を解決した——が、単一の降下法ですべての素数を扱うものはなく、大きな素数はさらに140年間あらゆる試みに抵抗した。

$p \ge 5$ の場合は1994-95年にアンドリュー・ワイルズがリチャード・テイラーとともに、初等数論の外の考え方を用いて解決した。仮の解 $a^p+b^p=c^p$ に対し、ゲルハルト・フライ(1984年)は楕円曲線 $y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)$ を対応させた;ケネス・リベット(1990年)はこの曲線が存在すればモジュラーではあり得ないことを証明した。ワイルズは有理数体上のすべての半安定楕円曲線がモジュラーであることを証明し、フライ曲線の非存在、したがってそのような $a,b,c$ の非存在を示した。ガロア表現、変形環、モジュラー形式にまたがるこの完全な論法は、この図書館の大問題フェルマーの最終定理下の証明「テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)」で再構成されている;もっと後で導入される道具が必要なためここでは繰り返さない。