フェルマーの最終定理

これはフェルマー自身が証明を書き残した唯一の場合であり、死後に彼の書類から見つかった。無限降下法は、仮の解から真に小さい解を構成する。正の整数に対してこれは不可能であり、現代数学と計算機科学で使われる整礎帰納法の祖先である。

$x^4+y^4=z^2$ の正の整数解が存在すると仮定し、$z$ が最小のものを選ぶ。$d=\gcd(x,y)>1$ なら $d^2\mid z$ となり $(x/d)^4+(y/d)^4=(z/d^2)^2$ がより小さい——矛盾。よって $\gcd(x,y)=1$、$(x^2,y^2,z)$ は原始的ピタゴラス数;$x$ を奇数とする。ユークリッドのパラメータ化により、偶奇の異なる互いに素な $m>n>0$ が存在し $x^2=m^2-n^2$、$y^2=2mn$、$z=m^2+n^2$。

$x^2+n^2=m^2$ より $(x,n,m)$ 自体が原始的なので、互いに素な $a>b>0$ が存在し $x=a^2-b^2$、$n=2ab$、$m=a^2+b^2$。このとき $y^2=4mab$ なので $(y/2)^2=mab$。$m,a,b$ は互いに素で積が完全平方なので各々が平方:$m=z_1^2$、$a=x_1^2$、$b=y_1^2$。

$m=a^2+b^2$ に代入すると $z_1^2=x_1^4+y_1^4$——同じ方程式の新解で $z_1\le z_1^2=m<m^2+n^2=z$:真に小さく最小性に矛盾。解は存在しない。$x^4+y^4=z^4$ については $Z=z^2$ とおけば $x^4+y^4=Z^2$ の解となるが、これは今否定された。

単純な代数的な工夫により無限の指数は指数4と奇素数指数の二族に帰着される。しかしそれでも三世紀の鋭い初等的手法は一度に数個の素数しか征服できず、定理は楕円曲線論の新しい道具立てによってようやく解決された。

$n>2$ であるすべての整数は奇素数 $p\ge3$ で割り切れる($n=pk$)か、2 のべき乗で $n\ge4$、したがって4で割り切れる($n=4k$)。$x^n+y^n=z^n$ の解があれば、$X=x^k,Y=y^k,Z=z^k$ により $X^p+Y^p=Z^p$ または $X^4+Y^4=Z^4$ の解が得られる。よって全ての $n>2$ に対するFLTは $n=4$(証明済み)とすべての奇素数 $p\ge3$ の場合から従う。

オイラー(1770年)はフェルマーの降下法を拡張し $p=3$ を初等的に証明した。その後の一世紀でジェルマン、ルジャンドル、クンマーがますます大きな素数の族を証明した——クンマーの1850年代の研究はすべての「正則」素数を解決した——が、単一の降下法ですべての素数を扱うものはなく、大きな素数はさらに140年間あらゆる試みに抵抗した。

$p \ge 5$ の場合は1994-95年にアンドリュー・ワイルズがリチャード・テイラーとともに、初等数論の外の考え方を用いて解決した。仮の解 $a^p+b^p=c^p$ に対し、ゲルハルト・フライ(1984年)は楕円曲線 $y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)$ を対応させた;ケネス・リベット(1990年)はこの曲線が存在すればモジュラーではあり得ないことを証明した。ワイルズは有理数体上のすべての半安定楕円曲線がモジュラーであることを証明し、フライ曲線の非存在、したがってそのような $a,b,c$ の非存在を示した。ガロア表現、変形環、モジュラー形式にまたがるこの完全な論法は、この図書館の大問題フェルマーの最終定理下の証明「テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)」で再構成されている;もっと後で導入される道具が必要なためここでは繰り返さない。