指数4に対するフェルマーの最終定理

$x^4+y^4=z^2$ の正の整数解が存在すると仮定し、$z$ が最小のものを選ぶ。$d=\gcd(x,y)>1$ なら $d^2\mid z$ となり $(x/d)^4+(y/d)^4=(z/d^2)^2$ がより小さい——矛盾。よって $\gcd(x,y)=1$、$(x^2,y^2,z)$ は原始的ピタゴラス数;$x$ を奇数とする。ユークリッドのパラメータ化により、偶奇の異なる互いに素な $m>n>0$ が存在し $x^2=m^2-n^2$、$y^2=2mn$、$z=m^2+n^2$。

$x^2+n^2=m^2$ より $(x,n,m)$ 自体が原始的なので、互いに素な $a>b>0$ が存在し $x=a^2-b^2$、$n=2ab$、$m=a^2+b^2$。このとき $y^2=4mab$ なので $(y/2)^2=mab$。$m,a,b$ は互いに素で積が完全平方なので各々が平方:$m=z_1^2$、$a=x_1^2$、$b=y_1^2$。

$m=a^2+b^2$ に代入すると $z_1^2=x_1^4+y_1^4$——同じ方程式の新解で $z_1\le z_1^2=m<m^2+n^2=z$:真に小さく最小性に矛盾。解は存在しない。$x^4+y^4=z^4$ については $Z=z^2$ とおけば $x^4+y^4=Z^2$ の解となるが、これは今否定された。